A - TÍNH MN. CM: BMNC LÀ HÌNH THANG CÂN

+ Xét ΔABC có:

$\left.\begin{matrix} \text{}\\\text{M là trung điểm AB (gt)}\\\text{N là trung điểm AC (gt)} \end{matrix}\right\}\text{⇒ MN là đường TB của ΔABC (đ/n)}$

$⇒\begin{cases} \text{MN // BC (t/c)}\\\text{MN = $\dfrac{1}{2}BC$ (t/c)}\\ \end{cases}$

⇒ MN = $\dfrac{BC }{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ (cm)

+ Có: ΔABC cân tại A (gt)

⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ (t/c)

+ Xét tứ giác BMNC có:

$\left.\begin{matrix} \text{ BC // MN (cmt)}\\\text{ $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ }\\\text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ BMNC là hình thang cân (đ/n)}$

$\\$

B - CM: ABCK LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

+ Có: K đối xứng với B qua N (gt)

⇒ N là trung điểm BK (đ/n)

+ Xét tứ giác ABCK có:

$\left.\begin{matrix} \text{N là trung điểm AC (gt)}\\\text{N là trung điểm BK (cmt)}\\\text{AC ∩ BK tại N} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ABCK là hình bình hành (DHNB)}$

$\\$

C - CM: AHBP LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

+ Có: H đối xứng với P qua M (gt)

⇒ M là trung điểm PH (đ/n)

+ Xét tứ giác AHPB có:

$\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm AB (gt)}\\\text{M là trung điểm HP (cmt)}\\\text{AB ∩ HP tại M} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AHPB là hình bình hành (DHNB)}$

$⇒\begin{cases} \text{AH // PB (đ/n)}\\\text{AH = PB (t/c) mà PB = PC (P là trung điểm BC) ⇒ AH = PB = PC}\\ \end{cases}$

+ Xét tứ giác AHPC có:

$\left.\begin{matrix} \text{AH = PC (Cmt)}\\\text{AH // PC (hay AH // PB)}\\\text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AHPC là hình bình hành (DHNB)}\\ ⇒ AC = HP (t/c) $

mà AC = AB (ΔABC cân tại A - đ/n)

⇒ AC = HP = AB

+ Xét hình bình hành AHPB có:

AB = HP (cmt)

⇒ AHPB là hình chữ nhật (DHNB)

$\\$

D - CM: AMPN LÀ HÌNH THOI

+ Xét ΔABC có:

$\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm AB (gt)}\\\text{P là trung điểm BC (gt)}\\\text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ MP là đường TB của ΔABC (đ/n)}$

⇒ MP // AC (t/c)

hay MP // AN (N ∈ AC)

+ Xét ΔACB có:

$\left.\begin{matrix} \text{N là trung điểm AC (gt)}\\\text{P là trung điểm BC (gt)}\\\text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ NP đường TB của ΔACB (đ/n)}$

⇒ NP // AB (t/c)

hay NP // AM (M ∈ AB)

+ Xét tứ giác AMPN có:

$\left.\begin{matrix} \text{AN // MP (cmt)}\\\text{AM // PN (cmt)}\\\text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AMPN là hình bình hành (DHNB)}$

+ Xét ΔABC cân tại A (gt) có: AP là đường trung tuyến (P là trung điểm BC - gt)

⇒ AP là đường cao của ΔABC (t/c tam giác cân)

⇒ AP ⊥ BC 

mà MN // BC (cmt)

⇒ AP ⊥ MN (quan hệ từ vuông góc đến song song)

+ Xét hình bình hành AMPN có:

AP ⊥ MN (cmt)

⇒ AMPN là hình thoi (DHNB)