Đáp án:

Giải thích các bước giải: Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). Đặt $\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} = k\overrightarrow {AB} \\ \overrightarrow {BB'} = k\overrightarrow {BC} \\ \overrightarrow {CC'} = k\overrightarrow {CA} \end{array} \right.$ Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} \\ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} + k\overrightarrow {CA} } \right)\\ = k\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \end{array}\) Vậy G là trọng tâm tam giác A'B'C'.