Xét ΔEAN và ΔEBC có:

        EA     =     EB   ( gt )

        EN     =     EC   ( gt )

      ∠AEN  =  ∠BEC  ( đối đỉnh )

→ ΔEAN = ΔEBC ( c - g - c ) ( * )  → AN = BC  (1)

Xét ΔAMD và ΔDBC có:

        DA     =    DC   ( gt )

        DM     =     DB   ( gt )

      ∠ADM  =  ∠BDC  ( đối đỉnh )

→ ΔAMD = ΔCBD ( c - g - c ) ( ** ) → AM = BC (2)

Từ (1) và (2) → AM = AN

Từ ( * ) → ∠ANE = ∠ECB 

           mà 2 góc này so le trong

            → AN // BC

Từ ( ** ) → ∠AMD = ∠EBC 

             mà 2 góc này so le trong

              → AM // BC

Theo tiên đề Ơcơlit: Qua 1 điểm cho sẵn chỉ vẽ được 1 và chỉ 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước → MN // BC

hay M, A, N thẳng hàng mà AM = AN ( cmt)

→ A trung điểm MN

Đây bạn nhé                                                                                                                                                     

Xét tứ giác ABCM có 

D là trung điểm của đường chéo AC

D là trung điểm của đường chéo BM

Do đó: ABCM là hình bình hành

Suy ra: AM//BC và AM=BC(1)

Xét tứ giác ANBC có 

E là trung điểm của đường chéo AB

E là trung điểm của đường chéo CN

Do đó: ANBC là hình bình hành

Suy ra: AN//BC và AN=BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM=AN(3)

Ta có: AM//BC

AN//BC

mà AM và AN có điểm chung là A

nên N,A,M thẳng hàng(4)

Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của NM