Đáp án:

\[225\left( {c{m^2}} \right)\]

Giải thích các bước giải:

Gọi độ dài cạnh AB và BC lần lượt là  \(a,b\,\,\,\left( {a,b > 0} \right)\)

Tam giác ABC vuông tại B nên diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}a.b\)

Nếu giữ nguyên cạnh AB và kéo dài cạnh BC thêm 1 đoạn bằng 12 cm thì diện tích tăng 150 cm^2 nên :

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{2}a.\left( {b + 12} \right) = \frac{1}{2}ab + 150\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab + 6a = \frac{1}{2}ab + 150\\
 \Rightarrow a = 25\left( {cm} \right)
\end{array}\)

Nếu giữ nguyên cạnh BC và bớt cạnh AB đi 1 đoạn 10cm thì diện tích giảm 90 cm^2 nên:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left( {b - 10} \right).a = \frac{1}{2}ab - 90\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab - 5a = \frac{1}{2}ab - 90\\
 \Leftrightarrow 5a = 90\\
 \Leftrightarrow a = 18\,\,\,\left( {cm} \right)
\end{array}\)

Diện tích của tam giác ABC là:

\[S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}.25.18 = 225\left( {c{m^2}} \right)\]