Đáp án:

\(\begin{array}{l}
1)\quad I = \dfrac{2\sqrt2-1}{3}\\
2)\quad A'\left(-\dfrac{5}{9};\dfrac{8}{9};\dfrac{44}{9}\right)\\
3)\ \text{Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là}\\
\text{đường tròn tâm $I(-5;2)$, bán kính $R = 2\sqrt{13}$}
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
1)\\
\quad I = \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x^3 + x}{\sqrt{x^2 + 1}}dx\\
\to I = \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x(x^2 + 1)}{\sqrt{x^2 + 1}}dx\\
\to I = \displaystyle\int\limits_0^1x\sqrt{x^2 + 1}dx\\
Đặt\ u = x^2 + 1\\
\to du = 2xdx\\
\text{Đổi cận:}\\
x\quad \Big|\quad 0\qquad 1\\
\overline{u\quad \Big|\quad 1\qquad 2}\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \dfrac12\displaystyle\int\limits_1^2\sqrt udu\\
\to I = \dfrac13\sqrt{u^3}\Bigg|_1^2\\
\to I = \dfrac{2\sqrt2-1}{3}\\
2)\\
\text{Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A(3;2;0)$ và vuông góc $d$}\\
\Rightarrow \text{$(P)$ nhận VTCP $\overrightarrow{u_d}=(1;2;2)$ của $d$ làm VTPT}\\
\text{Ta được:}\\
(P): 1(x-3) + 2(y-2) + 2z = 0\\
\Leftrightarrow x + 2y + 2z - 7 =0\\
\text{Hình chiếu $H$ của $A$ lên $d$ là giao điểm của $(P)$ và $d$}\\
\text{Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ:}\\
\quad \begin{cases}x = -1+t\\y = -3+2t\\z=-2+2t\\x + 2y + 2z - 7 =0\end{cases}\\
\Leftrightarrow (-1+t) + 2(-3+2t) + 2(-2+2t)-  7 =0\\
\Leftrightarrow 9t - 20 =0\\
\Leftrightarrow t = \dfrac{20}{9}\\
\Rightarrow H\left(\dfrac{11}{9};\dfrac{13}{9};\dfrac{22}{9}\right)\\
\text{$A'$ đối xứng $A$ qua $d$}
\Leftrightarrow \text{$H$ là trung điểm $AA'$}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x_{A'} = 2x_H - x_A = 2\cdot \dfrac{11}{9} - 3 = -\dfrac{5}{9}\\
y_{A'} = 2y_H - y_A = 2\cdot \dfrac{13}{9} - 2 = \dfrac{8}{9}\\
z_{A'} = 2z_H - z_A = 2\cdot \dfrac{22}{9} = \dfrac{44}{9}\end{cases}\\
\text{Vậy}\ A'\left(-\dfrac{5}{9};\dfrac{8}{9};\dfrac{44}{9}\right)\\
3)\\
\quad w = \dfrac{5 + iz}{1 + z}\\
\Leftrightarrow (1+ z)w = 5 + iz\\
\Leftrightarrow w + zw = 5 +iz\\
\Leftrightarrow (w - i)z = 5 - w\\
\Leftrightarrow z = \dfrac{5 -w}{w - i}\qquad (*)\\
Đặt\ w = a +bi\quad (a,\ b\in\Bbb R)\\
(*)\Leftrightarrow z = \dfrac{5 -a - bi}{a + (b-1)i}\\
\Leftrightarrow |z| = \left|\dfrac{5 - a - bi}{a + (b-1)i}\right|\\
\Leftrightarrow \sqrt2 = \dfrac{\sqrt{(5-a)^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + (b-1)^2}}\\
\Leftrightarrow 2 = \dfrac{(5-a)^2 + b^2}{a^2 + (b-1)^2}\\
\Leftrightarrow 2a^2 + 2(b-1)^2 = (5-a)^2 + b^2\\
\Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 - 4b + 2 = 25 - 10a + a^2 + b^2\\
\Leftrightarrow a^2 + 10a + b^2 - 4b - 23 =0\\
\Leftrightarrow (a + 5)^2 + (b - 2)^2 = 52\\
\text{Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là}\\
\text{đường tròn tâm $I(-5;2)$, bán kính $R = 2\sqrt{13}$}
\end{array}\)