Câu 1:

$\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$= $\frac{1}{c}$

⇔ $\frac{a+b}{ab}$= $\frac{1}{c}$

⇔ c.( a+b)= ab

⇔ ab-ac-bc= 0

⇔ ab-ac-bc+c²= c²

⇔ a.( b-c)-c.( b-c)= c²

⇔ ( a-c).( b-c)= c²

Gọi ( a-c; b-c)= d

⇒ c²⋮ d²

⇒ c⋮ d

Mà a-c⋮ d, b-c⋮ d

⇒ a⋮ d, b⋮ d

Mà ( a; b; c)= 1

⇒ d= 1

Ta có: ( a-c).( b-c) là số chính phương ( =c²)

Mà ( a-c; b-c)= 1 ⇒ a-c và b-c là 2 số chính phương

Đặt a-c= x²

b-c= y²

⇒ c²= xy²

⇒ c= xy

Ta có: a+b= a-c+b-c-2c= x²+y²-2xy= ( x-y)²

⇒ a+b là số chính phương ( đpcm)

Bài 2:

x²+y²-13.( x-y)= 0

⇔ 4x²+4y²-13.4.( x-y)= 0

⇔ 4x²-13.4x+13²+4y²+13.4y+13²= 13²+13²

⇔ ( 2x-13)²+( 2y+13)²= 338

⇒ 338 là tổng cách số chính phương

Các số chính phương bé hơn 338 là: 0; 1; 4;  9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169; 196; 225; 256; 289; 324

Dựa vào chữ số tận cùng, ta có thể lựa chọn cặp số thỏa mãn là: 49 và 289; 169 và 169

Th1: ( 2x-13)²= 49

⇔ 2x-13= 7 ⇔ x= 10

hoặc 2x-13= -7⇔ x= 3

và ( 2y+13)²= 289

⇔ 2y+13= 17 ⇔ y= 2

hoặc 2y+13= -17

⇔ y= -15

Th2: ( 2x-13)²= 289

⇔ 2x-13= 17 ⇔ x= 15

hoặc 2x-13= -17⇔ x= -2

và ( 2y+13)²= 49

⇔ 2y+13= 7 ⇔ y= -3

hoặc 2y+13= -7⇔ y -10

Th3: ( 2x-13)²= 169

⇔ 2x-13= 13 ⇔ x= 13

hoặc 2x-13= -13 ⇔ x= 0

và ( 2y+13)²= 169

⇔ 2y+13= 13 ⇔ y= 0

và 2y+13= -13 ⇔ y= -13

Vậy ....

Khá dài bạn ạ