Bài 1:

a, $\frac{x-1}{2009}$+$\frac{x-2}{2008}$= $\frac{x-3}{2007}$+$\frac{x-4}{2006}$

⇔ $\frac{x-1}{2009}$-1+$\frac{x-2}{2008}$-1= $\frac{x-3}{2007}$-1+$\frac{x-4}{2006}$-1

⇔ $\frac{x-2010}{2009}$+$\frac{x-2010}{2008}$= $\frac{x-2010}{2007}$+$\frac{x-2010}{2006}$

⇔ $(x-2010)$.( $\frac{1}{2009}$+$\frac{1}{2008}$-$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2006}$)= 0

⇔ x-2010= 0

⇔ x= 2010

b, G= 1+$\frac{1+2}{2}$+ $\frac{1+2+3}{3}$+...+ $\frac{1+2+3+..+20}{20}$

= 1+$\frac{2.3:2}{2}$+ $\frac{3.4:2}{3}$+...+ $\frac{20.21:2}{20}$

= 1+$\frac{3}{2}$+ $\frac{4}{2}$+...+ $\frac{21}{2}$

= 1+$\frac{3+4+...+21}{2}$ = 1+$\frac{(21+3)( 21-3+1):2}{2}$

=1+114

= 115  ( Áp dụng quy tắc tính tổng của dãy cách đều)

Bài 2:

a, với n= 0 thì 1+15= 16 là số chính phương

Với n≥ 1 thì ta có: 15⋮ 3; $2016^{n}$⋮ 3

⇒ Số chính phương tạo thành chia hết cho 3

Đặt $2016^{n}$+15= k²

⇒ k² tận cùng là 9

Mà $2016^{n}$ tận cùng là 6

⇒ $2016^{n}$+15 tận cùng là 1

⇒ k² tận cùng là 1

⇒ không có k thỏa mãn

Vậy n= 0 thì $2016^{n}$+15 là scp

b, 7.( x-2004)²= 23-y²

⇒ 23-y²≥ 0

⇔ y²≤ 23

Mà 7.( x-2004)²⋮ 7

⇒ 23-y²⋮ 7

Mà 23 chia 7 dư 2

⇒ y² chia 7 dư 2

Mà y²≤ 23 và y∈ N ⇒ y²= 16

⇒ y= 4

Khi y= 4 thì 23-y²= 7

⇔ 7.( x-2004)²= 7

⇔ ( x-2004)²= 1

⇔ x-2004= 1⇔ x= 2005

hoặc x-2004= -1⇔ x= 2003

c, x1.x2+x2.x3+...+xn.x1= 0 

⇒ Có n cặp ( do các số lặp lại 2 lần, nhưng 2 số lại ghép thành 1 cặp)

⇒ Có $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng 1

và có $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng -1

Với $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng 1 thì có 2 trường hợp: 

    +, Th1: $\frac{n}{4}$ số có giá trị bằng 1

    +, Th2:  $\frac{n}{4}$ số có giá trị bằng -1 ( $\frac{n}{4}$ số sẽ hợp lại thành 2 căp)

Mà số số hạng luôn là số tự nhiên ⇒ $\frac{n}{4}$ là số tự nhiên

⇒ n⋮ 4 ( đpcm)

Bài 3:

a, a³+3a²+5= $5^{b}$

⇔ a².( a+3)= 5.( $5^{b-1}$-1)

⇔ a².$5^{c}$= 5.( $5^{b-1}$-1)

⇔ a².$5^{c-1}$= $5^{b-1}$-1

Th1: Ta có: a².$5^{c-1}$⋮ 5

⇒ $5^{b-1}$-1⋮ 5

⇒ $5^{b-1}$= 1

⇒ b-1= 0

⇔ b= 1

⇒ $5^{b-1}$-1= 0

⇒ a².$5^{c-1}$= 0

⇒ a²= 0

⇔ a= 0

⇒ không thỏa mãn c

Th2: b≥ 1

⇒ $5^{c-1}$= 1

⇒ c-1= 0

⇒ c= 1

⇒ a= 5-3= 2

⇒ 2³+3.2²+5= $5^{b}$

⇒ b= 2

b, ( Tương tự câu 2b)

c, 2007ab= k²

Ta có: 200700≤ 2007ab≤ 200799

⇔ 447,99≤ k≤ 448,1

⇒ k= 448

⇒ 2007ab= k²= 200704

⇒ a= 0; b= 4

 

`1/`

`a)``(x - 1)/2009 + (x - 2)/2008 = (x - 3)/2007 + (x - 4)/2006`

`⇔ (x - 1)/2009 - 1 + (x - 2)/2008 - 1 = (x - 3)/2007 - 1 + (x - 4)/2006 - 1`

`⇔ (x - 2010)/2009 + (x - 2010)/2008 = (x - 2010)/2007 + (x - 2010)/2006`

`⇔ (x - 2010) (1/2009 + 1/2008 - 2/2007 - 1/2006) = 0`

`⇔ x - 2010 = 0`

`⇔ x = 2010`