Đáp án: 

\(\left[ \begin{array}{l}p=1981\\p=5\end{array} \right.\) 

Giải thích các bước giải:

 Đặt 43p + 1 = $n^{3}$ ( điều kiện n ≥ 5 ) 

⇒ 43p = $n^{3}-1=(n-1)($ $n^{2}+n+1)$ 

Xét 2 TH:

TH1: n - 1 = 43 ∀ $n^{2}+n+1=p$ ⇒ n = 44  ⇒ p = 1981 ( thỏa mãn là snt )

TH2: n - 1 = p ∀ $n^{2}+n+1=43$ ⇒ $n^{2}+(n-1)+2=43$

Thay n - 1 bằng p ⇒ $n^{2}+ p +2=43$

⇒ $n^{2}+2=43-p$ 

⇒ $n^{2}=41-p$ 

mà n - 1 = p ⇒ n = p +1 ⇒$n^{2}$ = $(p+1)^{2}$

⇒ $(p+1)^{2}=41-p$

Có p là snt ⇒ $(p+1)^{2}$ ≥ 9 và 41-p ≤ 39

⇒ 9 ≤ $(p+1)^{2}$≤ 39

Xét p + 1 = 3 ⇒ p = 2 ⇒ 43p +1 = 87 = $n^{3}$ ⇒ loại vì không có GT t/m

Xét p + 1 = 4 ⇒ p =3 ⇒ 43p +1 = 130 = $n^{3}$ ⇒ loại vì không có GT t/m

Xét p + 1 = 5 ⇒ p = 4 ( loại do 4 không phải snt ) 

Xét p + 1 = 6 ⇒ p = 5 ⇒ 43p +1 = 216 = $n^{3}$ ⇒ n = 6 (t/m n là số nguyên )

Vậy để 43p + 1 là lập phương của một số tự nhiên thì p = 1981 hoặc p = 5