a) Có d là đường trung trực của AB, AB ∩ d = H

⇒ d ⊥ AB; HA = HB

Xét ΔAHM và ΔBHM có:

     HA = HB (cmt)

    ∠AHM = ∠BHM = $90^{o}$ 

    HM: cạnh chung

⇒ ΔAHM = ΔBHM (c.g.c)

⇒ ∠AMH = ∠BMH (2 góc tương ứng)

⇒ MH là phân giác ∠AMB  (đpcm)

b) Ta có: ΔAHM = ΔBHM (theo a)

⇒ MA = MB (2 cạnh tương ứng)

    ∠MAH = ∠MBH (2 góc tương ứng) (1)

   Xét ΔAHP và ΔBHP có:

       HA = HB (theo a)

       ∠AHP = ∠BHP = $90^{o}$

        HP: cạnh chung 

⇒ ΔAHP = ΔBHP (c.g.c)

⇒ ∠PAH = ∠PBH (2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠MAH - ∠PAH = ∠MBH - ∠PBH

⇒ ∠MAP = ∠MBP

  Xét ΔAEM và ΔBFM có:

      ∠M: góc chung

       MA = MB (theo a)

      ∠MAP = ∠MBP (cmt) 

⇒ ΔAEM = ΔBFM (g.c.g)

⇒ ME = MF (2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔMEF cân tại M    ⇒ ∠MEF = ∠MFE

ΔMEF có: ∠EMF + ∠MEF + ∠MFE = $180^{o}$ 

⇒ ∠EMF + 2 . ∠MEF = $180^{o}$

⇒               2 . ∠MEF = $180^{o}$ - ∠EMF

⇒                    ∠MEF =  $\frac{180^{o} - ∠EMF}{2}$  (3)

Có: MA = MB (cmt) ⇒ ΔMAB cân tại M  ⇒ ∠MAB = ∠MBA
ΔMAB có: ∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = $180^{o}$

⇒ ∠AMB + 2 . ∠MBA = $180^{o}$

⇒                2 . ∠MBA = $180^{o}$ - ∠AMB

⇒                    ∠MBA = $\frac{180^{o} - ∠AMB}{2}$  (4)

Từ (3) và (4) ⇒ ∠MEF = ∠MBA

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị ⇒ EF // AB

Lại có: d ⊥ AB (cm a) ⇒ d ⊥ EF hay MH ⊥ EF (5)

Gọi I là giao điểm của MH và EF  

   Xét ΔMIE và ΔMIF có:

        MI: cạnh chung

        ∠FMI = ∠EMI (theo a)

        ME = MF (cmt)

⇒ ΔMIE = ΔMIF (c.g.c)

⇒ IE = IF (2 cạnh tương ứng)

⇒ I là trung điểm của EF   (6)

Từ (5) và (6) ⇒ MH là đường trung trực của EF (đpcm)

c) Ta có: MA = MB (theo b); MF = ME (theo b)

⇒ MA - MF  = MB - ME

⇒    AF   =  BE (đpcm)