a) Xét tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD tại trung điểm mỗi đường => ABCD là hình bình hành (dhnb). b) Xét tứ giác ACDE có: AE = AB = CD. AE // CD => ACDE là hình bình hành (dhnb) Lại có \(AB\bot AC\Rightarrow \widehat{CAE}={{90}^{0}}\). => ACDE là hình chữ nhật (dhnb). c) ACDE là HCN => EC = AD. ABCD là HBH => AD = BC => EC = BC => Tam giác EBC là tam giác cân tại C. Mà góc EBC = 60 độ => Tam giác EBC đều. d) ACDE là HCN => I là trung điểm của EC và AD => KI là đường TB của tam giác ACE. => KI // AE => IK // CD. Lại có ID // MC => Tứ giác MCDI là hình bình hành (dhnb) I là TĐ của AD => ID = ½ AD Xét tam giác vuông ACD có góc ADC = 60 độ => góc CED = 30 độ => CD = ½ AD (Cạnh đối diện góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền). => ID = CD = ½ AD => MCDI là hình thoi (HBH có 2 cạnh kề bằng nhau) e) Xét tam giác vuông CDE có: \(\eqalign{ & E{C^2} = D{E^2} + C{D^2} \cr & \Rightarrow 4C{D^2} = D{E^2} + C{D^2} \cr & \Rightarrow 3C{D^2} = D{E^2} \cr & \Rightarrow D{E^2} = {3.4^2} \cr & \Rightarrow DE = 4\sqrt 3 \cr}\) AK là đường TB của tam giác BDE => \(AK = \frac{1}{2}DE = 2\sqrt 3 \). Xét tam giác vuông ABK: \(\begin{array}{l}B{K^2} = A{B^2} + A{K^2} = {4^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 28\\ \Rightarrow BK = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \end{array}\) Vậy \(BD=2BK=4\sqrt{7}\).