a,Ta có: AF=AC (gt)

  hay:  AB+BF=AE+EC 

  mà    AB=AE (gt)

=>       BF=EC (đpcm)

 b, ΔABD=ΔAED (c-g-c)

  => BD=DE( hai cạnh tương ứng)

        \(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{AED}\) ( hai góc tương ứng)

  => \(\widehat{FBD}\)= \(\widehat{CED}\)  ( hai góc kề bù tương ứng)

 Xét ΔFBD và ΔCED, ta có:

       FB=EC ( chứng minh câu a)

      \(\widehat{FBD}\)= \(\widehat{CED}\)

       BD=DE

   => ΔFBD=ΔCED(c-g-c)

   => \(\widehat{BDF}\)= \(\widehat{EDC}\)

   mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh

   => F,D,E thẳng hàng (đpcm)

c,d , Ta thấy AB= AE

            => ΔABE cân tại A

          ΔABE cân tại A có Ad là đường phân giác

           => AD là đường cao

           => AD ⊥ BE (1)

        Tương tự ta có Δ AFC cân tại A có AD là đường cao

            => AD ⊥ FC (đpcm câu d)(2)

         Từ (1) và (2) suy ra : BE// FC ( cùng vuông góc với AD)

 e,

           Gọi giao điểm của BE và AD là I

              Ta có \(\widehat{AIE}\) = 90 \(^{\circ}\)

                 hay \(\widehat{DEB}\) + \(\widehat{IDE}\) = 90 \(^{\circ}\)

             Ta có \(\widehat{EDC}\) = \(\widehat{DBE}\) + \(\widehat{DEB}\)

             => \(\widehat{EDC}\) >\(\widehat{DEB}\)

             => \(\widehat{EDC}\) + \(\widehat{DEB}\) > \(\widehat{DEB}\) + \(\widehat{IDE}\) 

            hay \(\widehat{ADC}\) > 90 \(^{\circ}\)

Suy ra \(\widehat{ADC}\) là góc tù

Bài 2: 

   Ta có : I là trung điểm của AM (1)

              CN= 2 CI => I là trung điểm của CN (2)

    Từ (1) và (2) => NACM là hình bình hành

           =>      AN//CM

           Suy ra AN//BC (3)

b,  Tương tự câu a ta chứng minh được AKMB là hình bình hành 

        => AK//BC (4) 

        Từ (3) và (4) suy ra N,A,K thẳng hàng ( áp dụng tiên đề Ơ cờ lít) (*)

     NACM là hình bình hành => NA =CM  

     AKMB là hình bình hành  => AK =BM

     MÀ CM=BM ( M là trung điểm BC)

       => NA =AK  (**)

     Từ (*) và (**) suy ra A là trung điểm NK ( đpcm)