Bài 4:

a, Xét ΔABH và ΔACH có:

AHB=AHC=90 độ

AB=AC (GT)

B=C (GT)

⇒ΔABH=ΔACH (ch-gn)

⇒BAH=CAH (2 góc tương ứng)

⇒AH là tia phân giác góc BAC

b, Xét ΔEAH và ΔFAH có:

E=F=90 độ

AH là cạnh huyền chung

EAH=FAH (chứng minh ý a)

⇒ΔEAH=ΔFAH (ch-gn)

⇒HE=HF (2 cạnh tương ứng)

⇒ΔHEF cân tại H

c, Xét ΔKHB và ΔKHC có:

HK là cạnh chung

BHK=CHK=90 độ

HB=HC (vì: ΔABH=ΔACH)

⇒ΔKHB=ΔKHC (c.g.c)

⇒HBK=HCK (2 góc tương ứng)

Ta có: EBK+HBK=EBK và FCH+HCK=FCK

mà EBH=FCH và HBK=HCK

⇒EBK=FCK=90 độ

⇒FBK=AEH=90 độ

mà chúng ở vị trí đồng vị

⇒EH//BK

d, Ta có: AN//BC và HM=HN

⇒AM//BC

⇒MN//BC

⇒M,A,N thẳng hàng vì chung gốc A

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a)Ta có :ΔABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC và ∠ABC = ∠ACB (T/C Δ Cân)

Xét ΔABH và ΔACH có :

∠AHB = ∠AHC (cùng = $90^{0}$ )

AB = AC (cmt)

∠ABC = ∠ACB (cmt)

(Gộp cả 3 lại ) ⇒ ΔABH = ΔACH (Cạnh huyền - Góc Nhọn )

⇒ ∠BAH = ∠CAH (2 góc tương ứng) 

 Mà AH nằm trong ∠BAC

⇒ AH là tia phân giác của ∠BAC

Xét ΔEAH và ΔFAH có :

∠AEH = ∠AFH (cùng = $90^{0}$ )

AH  là cạnh chung.

∠BAH = ∠CAH (cmt)

(Gộp cả 3 lại ) ⇒ ΔEAH = ΔFAH (Cạnh huyền - Góc Nhọn )

⇒ HE = HF ( 2 cạnh tương ứng )

⇒ ΔHEF cân tại H (Đ/N Δ Cân)

c)Ta có : HF // CK (gt)

⇒ ∠AFH = ∠ACK ( T/C 2 đường thẳng // )

Mà AFH = $90^{0}$ (do AC ⊥ HF )

⇒ ∠ACK = $90^{0}$

Xét ΔBAK và ΔCAK có :

AB = AC (cmt)

∠BAK = ∠CAK.

AK là cạnh chung.

(Gộp cả 3 lại ) ⇒ ΔBAK = ΔCAK (c-g-c)

⇒ ∠ABK = ∠ACK ( 2 góc tương ứng )

Mà ∠ACK = $90^{0}$ (cmt)

⇒ ∠ABK = $90^{0}$

Ta lại có : ∠AEH = $90^{0}$ (do AB ⊥ BK) và 2  góc này nằm ở vị trí sole trong .

⇒ EH // BK (Dấu Hiệu Nhân Biết 2 đường thẳng // )

d) Ta có AN // BC (gt)

⇒∠NAH = ∠AHC ( sole trong )

Mà ∠AHC = $90^{0}$ (gt)

⇒ ∠NAH = $90^{0}$

Ta có : ΔEAH = ΔFAH (cmt)

⇒ ∠AHE = ∠AHF 

hay ∠MHA = ∠NHA 

Xét ΔMHA và ΔNHA :

HN = HN (gt)

∠MHA = ∠NHA (cmt)

HA là cạnh chung.

( Gộp cả 3 lại ) ⇒ ΔMHA = ΔNHA (c-g-c)

⇒∠MAH = ∠NAH ( 2 góc tương ứng )

Mà ∠NAH = $90^{0}$ (cmt)

⇒ ∠MAH = $90^{0}$

 Ta có : AH nằm giữa ∠MAN (cách vẽ)

⇒ ∠MAH + ∠NAH = ∠MAN

Thay Số : $90^{0}$ + $90^{0}$ = ∠MAN

                            $180^{0}$        = ∠MAN

⇒ M,A,N thẳng hàng. (đpcm)