Giải thích các bước giải:

a, Ta có: HE ║ DG (cùng ⊥ BD)

⇒ $\widehat{BEH} = \widehat{BCA}$ (đồng vị)

ΔABC cân tại A ⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{BCA}$

⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{BEH}$ hay $\widehat{FBE} = \widehat{HEB}$

Xét 2 tam giác vuông ΔHBE và ΔFEB có:

BE chung; $\widehat{FBE} = \widehat{HEB}$ 

⇒ ΔHBE = ΔFEB (cạnh huyền - góc nhọn) (đpcm)

b, ΔHBE = ΔFEB (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ EF = BH

EG ║ HD (cùng ⊥ AC), EH ║ DG (cùng ⊥ BD), theo tính chất đoạn chắn ta có EG = HD

Suy ra: EF + EG = BH + HD = BD (đpcm)

c, Kẻ FJ ║ AC (J ∈ BC)

⇒ $\widehat{BJF} = \widehat{BCA}$ (so le trong)

⇒ $\widehat{BJF} = \widehat{ABC}$ ⇒ ΔBJF cân tại F ⇒ FB = FJ
mà FB = KC ⇒ KC = FJ

Xét ΔIFJ và ΔIKC có:

$\widehat{IFJ} = \widehat{IKC}$ (so le trong), FJ = KC, $\widehat{IJF} = \widehat{ICK}$ (so le trong)

⇒ ΔIFJ = ΔIKC (c.g.c) ⇒ IF = IK

⇒ I là trung điểm của FK (đpcm)

d, ΔEGH có EH ⊥ EG (do EH ║ AC, EG ⊥ AC) nên ΔEGH vuông tại E

Để ΔEGH vuông cân thì EG = EH 

Mặt khác ta đã có EH = DG (tính chất đoạn chắn)

⇒ EG = DG ⇒ ΔEDG vuông cân ở G 

⇒ $\widehat{GDE} = \widehat{GED} = 45^o$ 

⇒ $\widehat{GDE} = \widehat{EDB} = 45^o$ 

⇒ Cách xác định điểm E

Kẻ BD ⊥ AC (D ∈ AC)

Vẽ tia phân giác của $\widehat{BDC}$ cắt BC ở E

E là điểm cần tìm.