a) $H$ là điểm đối xứng của $M$ qua $D$

$\Rightarrow D$ là trung điểm của $MH$

$D$ là trung điểm $BC$

Tứ giác $BMCH$ có hai đường chéo $MH$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $D$ mỗi đường

$\Rightarrow BMCH$ là hình bình hành

$\Rightarrow BH\parallel=MC$ (*)

Tương tự $AMCI$ là hình bình hành

$\Rightarrow AI\parallel=MC$ (**)

Từ (*) và (**) ta có: $BH\parallel=AI$

$\Rightarrow AIHB$ là hình bình hành

$\Rightarrow AH$ cắt $BI$ tại trung điểm $BI$

Tương tự $KIBC$ là hbh

$\Rightarrow KC$ cắt $BI$ tại trung điểm $BI$

Do đó $AH,KC,BI$ đồng quy tại điểm $O$ ( trung điểm $BI$)

b) Gọi $AM \cap OM =G$

Do $OA=OH,$ $DH=DM$

$\Rightarrow OD$ là đường trung bình $\Delta AHM$

$\Rightarrow OD\parallel=\dfrac{1}{2}AM$

Áp dụng Tales

$\Rightarrow \dfrac{AG}{GD}=2$

Mà $D$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow G$ cố định