Giải thích các bước giải:

a, ΔABC cân tại A ⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

⇒ $180^o - \widehat{ABC} = 180^o - \widehat{ACB}$

⇒ $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC; $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$; BD = CE 

⇒ ΔABD = ΔACE (c.g.c) (đpcm)

⇒ AD = AE ⇒ ΔADE cân (đpcm)

b, Xét 2 tam giác vuông ΔAHD và ΔAHE có:

AH chung; AD = AE

⇒ ΔAHD = ΔAHE (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ HD = HE ⇒ H là trung điểm của DE (đpcm)

c, ΔAHD = ΔAHE ⇒ $\widehat{DAH} = \widehat{EAH}$

Chứng minh tương tự câu b ta có ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ $\widehat{BAH} =\widehat{CAH}$

Suy ra: $\widehat{DAH} -\widehat{BAH} = \widehat{EAH} - \widehat{CAH}$

⇔ $\widehat{MAB} =\widehat{NAC}$

Xét 2 tam giác vuông ΔAMB và ΔANC có:

AB = AC; $\widehat{MAB} =\widehat{NAC}$

⇒ ΔAMB = ΔANC (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AM = AN (đpcm)

d, Xét 2 tam giác vuông ΔAIM và ΔAIN có:

AI chung; AM = AN (câu c)

⇒ ΔAIM = ΔAIN(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ MI = NI (đpcm)

e, ΔAIM = ΔAIN ⇒ $\widehat{IAM} =\widehat{IAN}$

⇒ AI là phân giác $\widehat{MAN}$

$\widehat{DAH} = \widehat{EAH}$ (câu c)

⇒ AH là phân giác $\widehat{MAN}$

⇒  Ba điểm A, H, I thẳng hàng (đpcm)