Ta có $\widehat{ABC} = 50^{\circ}$ và $\widehat{IBC} = 10^{\circ}$

Ta vẽ tam giác đều $EBC$ ($E, A$ cùng phía với $BC$) thì $\widehat{ABE} = 10^{\circ}$

Vì $\triangle BAE = \triangle CAE$ (c.c.c) nên $\widehat{BEA} = 30^{\circ}$

Do đó $\triangle BAE = \triangle BIC$ (c.g.c)

Suy ra $BA = BI$

$\Rightarrow \triangle ABI$ cân

$\Rightarrow \widehat{ABI} = 70^{\circ}$ 

 

Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B lấy điểm D sao cho Δ DAC đều ⇒ $\left \{ {{DA=DC=AC} \atop {góc DAC= góc DCA=góc ADC=60 độ}} \right.$ 

 Xét ΔABC có :

góc BAC + góc ABC + góc ACB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong tam giác ) 

mà góc ABC= 80 độ ; góc BAC= góc ACB (vì Δ ABC cân tại B)

⇒ góc BAC = góc ACB = (180 độ - 80 độ ) : 2 = 50 độ

Ta có : $\left \{ {{góc DAB+ góc BAC= góc DAC} \atop {góc DCB + gócBCA= góc DCA}} \right.$ 

⇒$\left \{ {{góc DAB + 50 độ = 60 độ} \atop {góc DCB+50 độ = 60 độ}} \right.$ 

⇒$\left \{ {{gócDAB=10 độ} \atop {gócDCB=10độ}} \right.$ 

⇒ góc DAB=góc DAC = 10 độ

Xét ΔDBA và Δ DBC có :

DA=DC ( vì Δ DAC đều)

góc DAB=góc DCB (chứng minh trên)

BA=BC(vì Δ ABC cân tại B)

⇒ΔDAB=ΔDCB(c.g.c)

⇒ góc ADB=góc CDB(tương ứng)

mà góc ADB+góc CDB=góc ADC=60 độ

⇒ góc ADB= góc CDB = 30 độ

Xét Δ BAD và Δ IAC có : 

DA=DC( vì Δ DAC đều)

góc DAB= góc IAC = 10 độ

góc ADC = góc ICA = 30 độ

⇒Δ BAD=Δ IAC(g.c.g)

⇒AB=AI (tương ứng)

⇒Δ AIB cân tại A

⇒ góc ABI=góc AIB

Xét Δ AIB có :

góc BAI + góc ABI + góc AIB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong tam giác)

mà góc BAI + góc IAC = góc BAC ⇒ góc BAI = 50 độ - 10 độ = 40 độ

       góc ABI = góc AIB (chứng minh trên )

⇒ góc ABI = góc AIB =(180 độ - 40 độ ) : 2 = 70 độ

Vậy góc ABI=70 độ