a, 

Có BE= 1/2AB, DF= 1/2DC 

ABCD là hình bình hành nên AB= CD 

=> BE= DF 

Tứ giác DEBF có BE//DF (vì AB//CD), BE= DF nên là hình bình hành 

b, 

ABCD là hình thang, có AE= EB, DF= FC nên EF là đường trung bình 

=> EF//AD//BC

EF= (AD+BD)/2= 2AD/2= AD 

=> EF= AD= BC 

Mà AD= 1/2AB => AE= AD 

AD= 1/2DC => AD= DF 

=> AE= AD= DF= EF 

=> Tứ giác AEFD là hình thoi 

c, 

Có EF= AD, mà AD= 1/2DC => EF= 1/2DC 

=> $\Delta$ DEC vuông tại E 

=> $\hat{DEC}= 90^o$ (1)

Tương tự, $\hat{AFB}= 90^o$ (2)

Mà AEFD là hình thoi nên $\hat{EMF}= 90^o$ (vì 2 đường chéo vuông góc) (3) 

(1)(2)(3)=> MENF là hình chữ nhật 

d, Khi ABCD là hình chữ nhật thì MENF là hình vuông

a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // DC

Ta có BE = $\frac{1}{2}$.AB , DF = $\frac{1}{2}$.DC 

⇒ BE = DF 

Xét tứ giác DEBF có:

        BE = DF, BE // DF ( AB // CD ) 

⇒  DEBF là hình bình hành 

b, Ta có: AE = BE = DF 

Xét tứ giác AEFD có:

        AE = DF, AE // DF ( AB // CD ) 

⇒ AEFD là hình bình hành 

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC

Ta có AB = 2.BC ⇒ AD = BC = $\frac{1}{2}$.AB

                               AE = $\frac{1}{2}$.AB

⇒ AD = AE

Xét hình bình hành AEFD có AD = AE 

⇒ AEFD là hình thoi 

c, Vì AEFD là hình thoi nên EF = DF

Ta có  AD = $\frac{1}{2}$.DC ⇒ EF = DF = $\frac{1}{2}$.DC

⇒ ΔDEC vuông tại vuông tại E ( tính chất của tam giác vuông )

⇒ ∠DEC = $90^{o}$ hay ∠MEN = $90^{o}$ 

Chứng minh tương tự ta cũng có ∠NFM = $90^{o}$ 

Theo câu b, ta có AEFD là hình thoi

⇒ AF ⊥ ED ( tính chất của hình thoi )

⇒ ∠EMF = $90^{o}$ 

Xét tứ giác MENF có ∠MEN = $90^{o}$ , ∠NFM = $90^{o}$ , ∠EMF = $90^{o}$ 

⇒ MENF là hình chữ nhật 

d, Nếu MENF là hình vuông thì ME = MF

⇒ DE = AF

Xét hình thoi AEFD có DE = AF

⇒ AEFD là hình vuông ⇒ ∠DAE = $90^{o}$ hay ∠DAB = $90^{o}$

Xét hbh ABCD có ∠DAB = $90^{o}$

⇒ ABCD là hình chữ nhật