a) ΔABC có AB = AC (gt)

⇒ ΔABC cân tại A
b)Xét ΔAHB và ΔAHC có:

         AH: cạnh chung

          ∠AHB = ∠AHC = $90^{o}$ (do AH ⊥BC)

          AB = AC (gt)

⇒ ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒ ∠BAH = ∠CAH (2 góc tương ứng)

⇒ AH là tia phân giác của ∠BAC

c) ΔABC cân tại A (theo a)

⇒ ∠ABC = ∠ACB hay ∠MBH = ∠NCH

Ta có: ΔAHB = ΔAHC (theo b)

⇒ HB = HC (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔBHM và ΔCHN có:

      ∠BMH = ∠CNH = $90^{o}$

       HB = HC (cmt)

        ∠MBH = ∠NCH (cmt)

⇒ ΔBHM = ΔCHN (cạnh huyền-góc nhọn)

d) Ta có: HB = HC (theo c)

mà HB + HC = BC = 12cm

⇒ HB = HC = $\frac{12}{2}$ = 6 (cm)

ΔAHB vuông tại H

⇒ AB² = AH² + HB² (Áp dụng ĐL Py-ta-go)

⇒ 10² = AH² + 6²

⇒ 100 = AH² + 36

⇒ AH² = 100 - 36 = 64

⇒ AH = √64 = 8 (cm)

e) Ta có: ΔBHM = ΔCHN (theo c)

⇒ ∠MBH = ∠NCH (2 góc tương ứng)

mà ∠ABO = ∠ACO = $90^{o}$

⇒ ∠ABO - ∠MBH = ∠ACO - ∠NCH

⇒        ∠OBC   = ∠OCB

⇒ ΔOBC cân tại O