Giải thích các bước giải:

a, Nối E với F

          ABCD là hình bình hành ⇒ $\left \{ {{AD ║ BC} \atop {AD = BC}} \right.$ 

                    ⇒ $\left \{ {{AF ║ BE} \atop {\frac{1}{2} AD = \frac{1}{2}BC}} \right.$ 

                    ⇒ $\left \{ {{AF ║ BE} \atop {AF = BE}} \right.$ 

                    ⇒ ABEF là hình bình hành mà AB = AF ( vì 2AB= AD và 2 AF = AD)

                    ⇒ ABEF là hình thoi ⇒ AE ⊥ BF (đpcm)

b, Đã chứng minh ở câu a, ta có: Tứ giác ABEF là hình thoi (đpcm)

c, ABEF là hình thoi (câu a) có BF là đường chéo ⇒ BF là phân giác của $\widehat{ABE}$

                  ⇒ $\widehat{EBF}$ = $\frac{\widehat{ABE}}{2}$ = $60^{o}$ 

   ABCD là hình bình hành ⇒ $\left \{ {{\widehat{BCD} = \widehat{BAD} = 60^{o} } \atop {AD ║ BC}} \right.$ 

   Tứ giác BFDC có DF ║ BC ( vì AD ║BC)  ;  $\widehat{EBF}$ = $\widehat{BCD}$ =  $60^{o}$

          ⇒ BFDC là hình thang cân (đpcm)

d, BFDC là hình thang cân (câu c) ⇒ BF = CD mà CD = AB ( vì ABCD là hình bình hành) 

  ⇒  BF = AB = $\frac{AD}{2}$ 

    ΔABD có: BF là trung tuyến của AD và BF = $\frac{AD}{2}$ ⇒ Δ ABD vuông tại B

          ⇒ $\widehat{ABD}$ = $90^{o}$  ⇒ $\widehat{MBD}$ = $90^{o}$  (1)

  Ta lại có: $\left \{ {{CD = AB = MB} \atop {BM ║ CD ( vì AB ║ CD)}} \right.$ 

       ⇒ BMCD là hình bình hành mà theo (1) ⇒ BMCD là hình chữ nhật (đpcm)

e, BMCD là hình chữ nhật (câu d) có E là trung điểm của đường chéo BC

                      ⇒ E là trung điểm của MD  ( đpcm)

f, E là trung điểm của MD(câu e) ⇒ M,E,D thẳng hàng (đpcm)