Đáp án:

Không có giá trị nguyên nào của $m$ thoả mãn.

Giải thích các bước giải:

$y = (m+1)x^4 - (m^2-2)x^2 +2019$ đạt cực tiểu tại $x= -1$

$\circledast m=-1\\ y=x^2+2019\\ y'=2x\\ y'=0 \Leftrightarrow x=0$

Hàm không có cực trị tại $x=-1(L)$

$\circledast m \ne -1$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x= -1$

$\Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} y'(-1)=0\\ y''(-1)>0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} -4(m+1)+2(m^2-2)=0\\ 8(m+1)-2(m^2-2)>0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} 2m^2−4m−8=0\\ −2m^2+8m+12>0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}m=1 \pm \sqrt{5}\\ 2-\sqrt{10} < m < 2+\sqrt{10}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m=1+\sqrt{5}$

Vậy không có giá trị nguyên nào của $m$ thoả mãn.

th1 m=-1

=>$x^2+2019=y$

<=>$y'=2x=0<=>x=0$(L)

th2 m$\neq$ -1

ta có $y'=4(m+1)x^3-2.(m^2-2)x $

=>$y''=12(m+1)x^2-2.(m^2-2) $

để hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 thì

$\left \{ {{y'(-1)=0} \atop {y''(-1)>0}} \right.$

=>$\left \{ {{-4(m+1)+2(m^2-2)=0} \atop {12(m+1)-2m^2+4>0}} \right.$

<=>$\left \{ {{m=1±\sqrt[]{5}} \atop {2-\sqrt[]{10}<m<2+\sqrt[]{10}}} \right.$ 

=>$m=1+\sqrt[]{5}$( thỏa mãn)

nhưng đây là số thực nên ko có giá trị nguyên nào của m

xin hay nhất