Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \dfrac{{{R_3}}}{{{R_4}}}\\
b.{R_4} = 16,5\Omega 
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

a. Khi vôn kế chỉ 0V thì:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{U_1} + {U_V} = {U_3} \Leftrightarrow {U_1} = {U_3}\\
{U_4} + {U_V} = {U_2} \Leftrightarrow {U_2} = {U_4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{{U_1}}}{{{U_2}}} = \dfrac{{{U_3}}}{{{U_4}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{I_1}{R_1}}}{{{I_2}{R_2}}} = \dfrac{{{I_3}{R_3}}}{{{I_4}{R_4}}}\\
{I_1} = {I_2},{I_3} = {I_4} \Rightarrow \dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \dfrac{{{R_3}}}{{{R_4}}}
\end{array}$

b. Đổi: 80mA = 0,08A

Điện trở tương đương của đoạn mạch là:
$\begin{array}{l}
{R_{td}} = \dfrac{{{R_1}.{R_3}}}{{{R_1} + {R_3}}} + \dfrac{{{R_2}.{R_4}}}{{{R_2} + {R_4}}} = \dfrac{{30.45}}{{30 + 45}} + \dfrac{{50{R_4}}}{{50 + {R_4}}}\\
 \Leftrightarrow {R_{td}} = 18 + \dfrac{{50{R_4}}}{{50 + {R_4}}} = \dfrac{{900 + 68{R_4}}}{{50 + {R_4}}}
\end{array}$

Cường độ dòng điện qua mạch là:
${I_m} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{12\left( {50 + {R_4}} \right)}}{{900 + 68{R_4}}}$

Cường độ dòng điện qua điện trở R1 là:

${I_1} = \dfrac{{{R_3}}}{{{R_1} + {R_3}}}.{I_m} = \dfrac{{45}}{{45 + 30}}.\dfrac{{12\left( {30 + {R_4}} \right)}}{{900 + 68{R_4}}} = \dfrac{{7,2\left( {30 + {R_4}} \right)}}{{900 + 68{R_4}}}$

Cường độ dòng điện qua điện trở R2 là:
${I_2} = \dfrac{{{R_4}}}{{{R_2} + {R_4}}}.{I_m} = \dfrac{{{R_4}}}{{50 + {R_4}}}.\dfrac{{12\left( {50 + {R_4}} \right)}}{{900 + 68{R_4}}} = \dfrac{{12{R_4}}}{{900 + 68{R_4}}}$

Giá trị điện trở R4 là:
$\begin{array}{l}
{I_1} - {I_2} = {I_A} \Leftrightarrow \dfrac{{7,2\left( {50 + {R_4}} \right)}}{{900 + 68{R_4}}} - \dfrac{{12{R_4}}}{{900 + 68{R_4}}} = 0,08\\
 \Leftrightarrow 360 + 7,2{R_4} - 12{R_4} = 72 + 5,44{R_4}\\
 \Leftrightarrow 17,44{R_4} = 288 \Rightarrow {R_4} = 16,5\Omega 
\end{array}$