Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.{R_{AC}} = \dfrac {{{R_{AB}}}}{3}\\
b.{R_{AC}} = \dfrac {{23}}{{60}}{R_{AB}}
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

a. Khi cường độ dòng điện qua ampe kế là 0A thì mạch cầu trở thành mạch cầu cân bằng nên ta có:

$\dfrac {{{R_1}}}{{{R_{AC}}}} = \dfrac {{{R_2}}}{{{R_{BC}}}} \Leftrightarrow \dfrac {1}{{{R_{AC}}}} = \dfrac {2}{{{R_{BC}}}} \Rightarrow {R_{BC}} = 2{R_{AC}}$

Vậy phải điều chỉnh con chạy biến trở sao cho:

${R_{AC}} + {R_{BC}} = {R_{AB}} \Leftrightarrow 3{R_{AC}} = {R_{AB}} \Rightarrow {R_{AC}} = \dfrac {1}{3}{R_{AB}}$

b. Khi hiệu điện thế bằng nhau ta được:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{U_1} = {U_2} \Leftrightarrow {I_1}{R_1} = {I_2}{R_2} \Rightarrow {I_1} = 2{I_2}\\
{U_1} + {U_2} = U \Leftrightarrow {I_1} + 2{I_2} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{I_1} = \dfrac {9}{2}A\\
{I_2} = \dfrac {9}{4}A
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {U_1} = {U_2} = {U_{AC}} = {U_{BC}} = {I_1}{R_1} = \dfrac {9}{2}.1 = 4,5V\\
 \Leftrightarrow {U_{AC}} = {U_{BC}} = U'\\
{I_{AC}} + {I_1} = {I_{BC}} + {I_2}\\
 \Leftrightarrow \dfrac {{{U_{AC}}}}{{{R_{AC}}}} + {I_1} = {I_2} + \dfrac {{{U_{AC}}}}{{{R_{BC}}}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac {{4,5}}{{{R_{AC}}}} + 4,5 = 2,25 + \dfrac {{4,5}}{{{R_{BC}}}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac {{4,5\left( {{R_{AC}} - {R_{BC}}} \right)}}{{{R_{AC}}.{R_{BC}}}} = 2,25\\
 \Leftrightarrow \dfrac {{{R_{AC}} - {R_{BC}}}}{{{R_{AC}}.{R_{BC}}}} = 2\\
{R_{AC}} + {R_{BC}} = 6 \Rightarrow {R_{BC}} = 6 - {R_{AC}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac {{{R_{AC}} - 6 + {R_{AC}}}}{{{R_{AC}}\left( {6 - {R_{AC}}} \right)}} = 2\\
 \Leftrightarrow 2{R_{AC}} - 6 = 12{R_{AC}} - 2{R_{AC}}^2\\
 \Leftrightarrow {R_{AC}}^2 - {R_{AC}} - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{R_{AC}} = 2,3\\
{R_{AC}} =  - 1,3
\end{array} \right.,0 < {R_{AC}} \Rightarrow {R_{AC}} = 2,3\Omega 
\end{array}$

Vậy cần phải điều chình con chạy C của biến trở sao cho:

$\dfrac {{{R_{AC}}}}{{{R_{AB}}}} = \dfrac {{2,3}}{6} = \dfrac {{23}}{{60}} \Rightarrow {R_{AC}} = \dfrac {{23}}{{60}}{R_{AB}}$