Giải thích các bước giải:

Bài `19.`
`a)`
Ta có:
`BDNI` là hình bình hành
`=>DN////BI` hay `NE////BI`
`CENK` là hình bình hành
`=>NE////KC` mà `NE////BI`
`=>KC////BI`
`=>hat{KCM}=hat{IBM}(text{hai góc so le trong})`
`M` là trung điểm của `BC`
`=>BM=CM`
`N` là trung điểm của `DE`
`=>DN=EN`
`BDNI` là hình bình hành `=>DN=BI`
`CENK` là hình bình hành `=>NE=CK` mà `DN=NE`
`=>BI=CK`
Xét `ΔBIM` và `ΔCKM` ta có:
`{:(text{BM=CM(gt)}),(hat{MBI}=hat{MCK}(cmt)),(text{BI=CK(cmt)}):}}=>ΔBIM=ΔCKM(c-g-c)`
`=>hat{BMI}=hat{CMK}(text{hai góc tương ứng})`
`=>IM=KM(text{hai cạnh tương ứng})`
Ta có:
`hat{BMK}+hat{KMC}=180^o(text{hai góc kề bù})`
Mà `hat{CMK}=hat{BMI}(cmt)`
`=>hat{BMK}+hat{BMI}=180^o`
`=>hat{IMK}=180^o`
`=>I;M;K` thẳng hàng `(text{ĐPCM})`

`b)`
Ta có:
`BDNI` là hình bình hành
`=>BD=IN;BD////IN`
`CENK` là hình bình hành
`=>CE=NK;CE////NK` mà `BD=CE`
`=>IN=NK`
Xét `ΔNIK` ta có:
`NI=NK`
`=>ΔNIK` là tam giác cân tại `N`
Ta có:
`IM=KM`
`=>M` là trung điểm của `IK`
`=>NM` là đường trung tuyến của `ΔNIK`
Mà `ΔNIK` cân tại `N`
`=>` Trung tuyến `NM` đồng thời là đường phân giác
`=>hat{INM}=hat{KNM}`
Ta có:
`CE////NK(cmt)` hay `CQ////KN`
`=>hat{MNK}=hat{CQM}(text{hai góc đồng vị})`
Mà `hat{CQM}=hat{AQP}(text{2 góc đối đỉnh})`
`=>hat{MNK}=hat{AQP}`
Ta có:
`BD////IN(cmt)` hay `IN////BP`
`=>hat{INM}=hat{APQ}(text{hai góc đồng vị})`
Mà `hat{MNK}=hat{AQP}`
`=>hat{APQ}=hat{AQP}` ( vì `hat{INM}=hat{MNK}(cmt)`  )
Xét `ΔAPQ` ta có:
`hat{APQ}=hat{AQP}(cmt)`
`=>ΔAPQ` là tam giác cân tại `A(text{ĐPCM})`

Đáp án + giải thích các bước giải : 

$\\$ `a)`

$\\$ $\bullet$ Vì `BDNI` là hình bình hành (gt) 

$\\$ `=>` $\begin{cases}  DN //BI (t/c) (*)\\ DN = BI (t/c)  (1)\end{cases}$ 

$\\$ $\bullet$ Vì `CENK` là hình bình hành (gt)

$\\$ `=>` $\begin{cases} EN // CK (t/c) (**)\\ NE = CK (t/c)  (2)\end{cases}$ 

$\\$ $\\$ `Từ : (*);(**) => BI ////CK` (cùng song song với `DE`)

$\\$ `=> hat(IBM) = hat(MCK) ` (2 góc tương ứng)

$\\$ $\bullet$ Vì `M` là trung điểm của `BC` (gt) `=> MB = MC` ( t/c)

$\\$ $\bullet$ Vì `N` là trung điểm của `DE` (gt) `=> DN = NE  (3)` (t/c) 

$\\$ `Từ : (1);(2);(3) => BI = CK`

$\\$ $\bullet$ Xét `triangle BIM` và `triangle  CKM` có :
$\\$ $\begin{cases}  \widehat{IBM} = \widehat{MCK} (cmt) \\ BM = MC (cmt) \\ BI = CK(cmt)\end{cases}$ 

$\\$ `=> triangle  BIM  = triangle  CKM ( c - g - c)`

$\\$ `=> hat(BMI) = hat(CMK) ` (2 góc tương ứng)

$\\$ $\bullet$ Vì `M; B ; C` thẳng hàng `=> hat(BMK) + hat(CMK) = 180^o ` (kề bù)

$\\$ `=> hat(BMK) + hat(BMI) = 180^o`

$\\$ `=> hat(IMK) = 180^o`

$\\$ `=>` 3 điểm `I ; M ; K` thẳng hàng 

$\\$ `b)` Vì : `IN ////BD => IN////BP`

$\\$ `=> hatP = hat(INM) ` (2 góc đồng vị)` (4)`

$\\$ `Ta có : NK ////QC` (cmt)

$\\$ `=> hat(MNK) = hat(MQC)` (2 góc đồng vị) `(5)`

$\\$ $\bullet$ Vì : ` triangle  BIM  = triangle  CKM (cmt)`

$\\$ `=> IM = KM ` (2 cạnh tương ứng)

$\\$ `Ta có : BD = CE`

$\\$ `Mà BD = IN (cmt) ; CE = NK (cmt)`

$\\$ `=> IN =  IK`

$\\$ Xét `triangleNIM` và `triangle NKM`có : 

$\\$ `IN = IK(cmt)`

$\\$ `MN` chung

$\\$ `MI = KM (cmt)`

$\\$ `=> `triangleNIM = triangle NKM (c-c-c)`

$\\$ `=> hat(INM) = hat(KNM)` (2 góc tương ứng) `(6)`

$\\$ `Từ : (4);(5);(6) => hatP = hat(MQC)`

$\\$ `Mà : hat(MQC) = hat(AQP)` (2 góc đối đỉnh)

$\\$` => hatP = hat(AQP)`

$\\$ `=> triangle  APQ` cân tại `A`