a) Xét $\Delta$ vuông $ ABE$ và $\Delta$ vuông $CAH$ có:

$AB=CA$ (do $\Delta ABC$ vuông cân đỉnh A)

$\widehat{ABE}=\widehat{CAH}$ (do cùng cộng $\widehat{BAE}$ bằng 90^o)

$\Rightarrow\Delta ABE=\Delta CAH$ (cạnh huyền- góc nhọn)

$\Rightarrow BE=AH$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Xét $\Delta ABN$ và $\Delta ACN$ có:

$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$AN$ chung

$BN=CN$ (do N là trung điểm cạnh $BC$)

$\Rightarrow \Delta ABN=\Delta ACN$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{ANC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ANB}+\widehat{ANC}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{ANC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow AN\bot BC$

Trong $\Delta ANI:\widehat{NIA}+\widehat{NAI}=90^o $

$\Delta IHC:\widehat{HIC}+\widehat{ICH}=90^o$

mà $\widehat{NIA}=\widehat{HIC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow\widehat{NAI}=\widehat{ICH}$ (do cùng cộng với hai góc bằng nhau ra $90^o$)

hay $\widehat{NAE}=\widehat{NCH}$ (1)

lại có $\Delta ABE=\Delta CAH(\text{câu a} )\Rightarrow AE=CH$ (2)

$\Delta ANC\bot N$ có $\widehat{ACN}=45^o$

$\Rightarrow \Delta ANC$ vuông cân đỉnh N $\Rightarrow AN=CN$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\Delta NAE=\Delta NCH$ (c.g.c)