a) $OH$ là khoảng cách của $O$ đến $BC$ nên $OH\bot BC$ (1)

$\Delta OBC$ cân đỉnh $O$ vì có $OB=OC$ có $OH$ là đường cao nên $OH$ cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$: $HB=HC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{24}{2}=12$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $OHB$ ta có:

$OH^2=OB^2-BH^2=15^2-12^2=81$

$\Rightarrow OH=9$

 

b) $\Delta ABC$ có $AB=AC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $A$

Có $AO$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AO$ cũng là đường cao (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OH\parallel AO$ (vì cùng $\bot BC$)

$\Rightarrow O,H,A$ thẳng hàng. 

 

c) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta OAB\bot B$

$OB^2=OH.OA$

$\Rightarrow OA=\dfrac{OB^2}{OH}=\dfrac{15^2}{9}=25$

$\sin\widehat{OAB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}$

$\Rightarrow \widehat{OAB}=36,87^o\Rightarrow \widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=73,74^o$

Định lý Pitago $\Delta OAB\bot B$

$AB^2=OA^2OB^2=25^2-15^2=400$

$\Rightarrow AB=20$

 

d) $\Delta ACM$ và $\Delta ABN$ có:

$\widehat A$ chung

$AC=AB$

$\widehat{CAM}=\widehat{BAN}=90^o$

$\Rightarrow \Delta ACM=\Delta ABN$

$\Rightarrow AM=AN$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}$

$\Rightarrow BC\parallel MN$ (theo định lý Ta-let) (đpcm).