$\quad 5^x + m = \log_5(x-m)\quad (x> m)$

Đặt $t = \log_5(x-m)$

$\Leftrightarrow 5^t = x - m$

$\Leftrightarrow m = x - 5^t$

Phương trình trở thành:

$\quad 5^x + x - 5^t = t$

$\Leftrightarrow 5^x + x = 5^t + t\quad (*)$

Xét $f(u)= 5^u + u$

$\Rightarrow f'(u)= 5^u\ln5+ 1 > 0\quad \forall u$

$\Rightarrow f(u)$ đồng biến

Do đó:

$(*)\Leftrightarrow x = t$ (Phương trình đặc trưng, đồng biến)

Ta được:

$\quad m = x - 5^x\quad (**)$

Đặt $f(x)= x - 5^x$

$\Rightarrow f'(x)= 1 - 5^x\ln5$

$f'(x)= 0 \Leftrightarrow x = \log_5\left(\dfrac{1}{\ln5}\right)$

$\Rightarrow \max f(x)= f\left[\log_5\left(\dfrac{1}{\ln5}\right)\right]\approx -0,91702$

Khi đó:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $(**)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow m \leqslant \max f(x)= - 0,91702$

Ta lại có:

$m\in \Bbb Z;\ m\in (-2022;2022)$

$\Rightarrow m\in \{-2021;-2020;\dots;-2;-1\}$

$\Rightarrow 2021$ giá trị $m$