a) DF // BC, DF = BC => BCFD là hình bình hành => BD // CF. CMTT ta có CDBE là hình bình hành => BD // CE. => C, E, F thẳng hàng và C là trung điểm của EF. Xét tam giác AEF có : Trung tuyến AC Trung tuyến BF Trung tuyến DE => AC, BF, DE đồng quy. b) Kẻ MP // AF (P thuộc CF). Ta có \(\eqalign{ & {{MD} \over {AB}} = {{FD} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow MD = {1 \over 2}AB \cr & {{MC} \over {BE}} = {{FM} \over {FB}} = {{FD} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow MC = {1 \over 2}BE \cr}\). Mà AB = BE => MD = MC => M là TĐ của CD. Ta có \(\begin{array}{l}\frac{{MP}}{{DF}} = \frac{{CM}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow MP = \frac{1}{2}DF = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}AF = \frac{1}{4}AF\\ \Rightarrow \frac{{MP}}{{AF}} = \frac{1}{4} = \frac{{NP}}{{NF}} \Rightarrow \frac{{NP}}{{PF}} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{{NP}}{{CF}} = \frac{1}{6} \Rightarrow NP = \frac{1}{6}FC\\ \Rightarrow FN = NP + PF = \frac{1}{6}FC + \frac{1}{2}FC = \frac{2}{3}FC\\ \Rightarrow \frac{{FN}}{{FC}} = \frac{2}{3}\end{array}\)

a) DF // BC, DF = BC => BCFD là hình bình hành => BD // CF.

CMTT ta có CDBE là hình bình hành => BD // CE.

=> C, E, F thẳng hàng và C là trung điểm của EF.

Xét tam giác AEF có :

Trung tuyến AC

Trung tuyến BF

Trung tuyến DE

=> AC, BF, DE đồng quy.

b) Kẻ MP // AF (P thuộc CF)