a, Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD

⇒ O là trung điểm của AC và BD

Hay OA = OC và OD = OB

Xét ΔADC có:

AF là đường trung tuyến ( F là trung điểm của DC)

DO là đường trung tuyến ( OA=OC)

Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại M

⇒ M là trọng tâm của tam giác ADC

Tương tự, xét ΔABC có:

AE là đường trung tuyến ( E là trung điểm của BC)

BO là đường trung tuyến ( OA=OC)

Hai đường trung tuyến cắt nhau tại N

⇒ N là trọng tâm của tam giác ABC

b, 

Nối MC và  NC

Ta có OM =  OD

         ON =  OB

Mà OD = OB (cmt)

⇒ OM = ON

Xét tứ giác ANCM có:

OM = ON (cmt)

OA = OC (cmt)

⇒ tứ giác ANCM là hình bình hành

⇒ AM//CN hay AF//CN

Xét ΔDNC có:

DF=CF (gt)

MF//CN (AF//CN)

⇒ DM = MN (1)

Gọi I là giao điểm của EF và MC

Xét ΔBCD có:

DF = CF (gt)

BE = CE (gt)

⇒ EF là đường trung bình của Δ BCD

⇒ EF//BD

hay EI//BD

Xét Δ BMC có:

EI//BM ( M∈ BD)

BE = CE (gt)

=> MN = NB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

DM = MN =NB (đpcm)