a, Xét ΔABI vuông  và ΔKBI vuông, ta có:

 IB chung

\(\widehat{ABI}\) = \(\widehat{KBI}\) ( BI là  phân giác )

=> ΔABI = ΔKBI ( cạnh huyền- góc nhọn)

b, 

ΔABI = ΔKBI 

=> AB = KB

=> ΔABK cân tại B

ΔABK cân tại B có \(\widehat{ABK}\) = 60 \(^{\circ}\)

=> ΔABK đều

c, ΔABC vuông tại A có \(\widehat{ABC}\)= 60 \(^{\circ}\)

=> \(\widehat{ACB}\)= 30(^{\circ}\) (1)

\(\widehat{ABC}\)= 60 \(^{\circ}\) có BI là phân giác

=> \(\widehat{IBC}\)= 30 \(^{\circ}\) (2)

Từ (1) và (2)

=> tam giác CIB cân tại I

Tam giác CIB cân tại I có IK là đường cao

=> IK cũng là đường trung tuyến

=> K là trung điểm BC

d, Xét ΔEIA và ΔCIK có

\(\widehat{EAI}\) = \(\widehat{CKI}\) ( = 90\(^{\circ}\))

\(\widehat{EIA}\) = \(\widehat{CIK}\) ( hai góc đối đỉnh)

IA = IK ( ΔABI = ΔKBI )

=> ΔEIA = ΔCIK  ( g-c-g)

=> EA = CK = KB = AB

=> EA = AB

=> A là trung điểm của EB