Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 

                 Cm

a.Ta có: 2AB=AM+AN

=>AB+AC=AB-BM+AC+CN

=>BM-CN=AB-AB+AC-AC

=>BM-CN=0

=>BM=CN

b.Kẻ MH//AN (H∈BC)

Ta có: MBH=ACB (2 góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

          MHB=ACB (2 góc đồng vị)

=>MBH=MHB (=ACB)

=>ΔHMB cân tại M

=>HM=BM (2 cạnh bên bằng nhau)

Lại có: BM=CN (cm câu a)

=>HM=CN (=BM)

Xét ΔHIM và ΔCIN có:

        HMI=CNI (2 góc so le trong)

        HM=CN (cmt)

        IHM=ICN (2 góc so le trong)

=>ΔHIM=ΔCIN (g.c.g)

=>IM=IN (2 cạnh tương ứng)

=>I là trung điểm của MN

=>BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c.Trong ΔABC cân tại A có:

Đường phân giác AK đồng thời là đường trung trực

Lại có: K thuộc đường trung trực của CB

=>KB=KC

Xét ΔKBM và ΔKCN có:

        BM=CN (cm câu a)

        KM=KN (do K thuộc đường trung trực của MN)

         KB=KC (cmt)

=>ΔKBM=ΔKCN (c.c.c)

=>KBM=KCN (1) (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔKAB và ΔKAC có:

      AK chung

      KAB=KAC (do AK là phân giác góc A)

     AB=AC (gt)

=>ΔKAB=ΔKAC (c.g.c)

=>KAB=KAC (2) (2 góc tương ứng)

Từ (1) và (2) =>KCN=KCA

Mà KCN+KCA=180 độ (2 góc kề bù)

=>KCN=KCA=$\frac{180}{2}$=90 độ

=>KC⊥AC.