a) Tứ giác ABCD là hình bình hành

`=> AB = CD`; $AB//CD; BC//AD$

có: `BC = 2AB`; `BC = 2NC`

`=> AB = NC = CD`

Ta có: $\begin{cases}NE//AB\\AB//CD\end{cases}$ `=> NE//CD`

Xét tứ giác NCDE có: $\begin{cases}NE//CD\\NC//ED\end{cases}$

`=>` Tứ giác NCDE là hình bình hành

Lại có `NC = CD` (cmt)

`=>` Tứ giác NCDE là hình thoi

b) Tứ giác NCDE là hình thoi `=>NC = DE` ;`EC ⊥ ND`  (1) 

mà `BN = NC` (N là trung điểm của BC)

`=> BN = DE`

Xét tứ giác BNDE có: $\begin{cases}BN//DE\\BN=DE\end{cases}$

`=>` Tứ giác BNDE là hình bình hành

`=>` $BE//ND$   (2) 

Từ (1) và (2) `=> BE ⊥ EC`

c) Ta có: $\begin{cases}BN//AE\\AB//NE\end{cases}$

`=>` Tứ giác ABNE là hình bình hành

mà `AN ∩ BE = {I} =>` I là trung điểm của BE

$\left.\begin{matrix} NC=DE\\BC=AD\\BC=2NC \end{matrix}\right\}$ `=> AD = 2DE`

`=> AE = ED = NC`

Ta có: $\begin{cases}NC//AE\\NC=AE\end{cases}$

`=>` Tứ giác ANCE là hình bình hành

mà `AC ∩ EN = {K} =>` K là trung điểm của EN

Xét $\triangle BNE$ có: $\begin{cases}BI=EI\\NK=EK\end{cases}$

`=>` IK là đường trung bình của $\triangle BNE$

`=>` $IK // BN;$ `IK = 1/2 BN`

`=>` $IH//BC$

Xét $\triangle BEC$ có: $\begin{cases}BI=EI\\IH//BC\end{cases}$

`=> EH = CH`

$\left.\begin{matrix} BI=EI\\EH=CH\end{matrix}\right\}$ `=>` IH là đường trung bình của $\triangle BEC$

`=> IH = 1/2BC=1/2. 2BN=BN = 2IK`

`=>` K là trung điểm của IH `=> IK = KH` (đpcm)