a. Ta có AD=AB ⇒ ΔABD cân A ⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ABD}$

mà $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (AB//CD hai góc ở vị trí so le trong)

⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{BDC}$

⇒ BD là phân giác $\widehat{ADC}$

b. Xét ΔEAB có $\widehat{EAB}=\widehat{EBA}$ (đồng vị với 2 góc bằng nhau)

⇒ ΔEAB cân E ⇒ AE=BE hay DE=EC=15

Áp dụng đinh lý ta lét có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
EB + BC = 15\\
\dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}
\end{array} \right.
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{EB}}{{15}} = \dfrac{{BC}}{{10}}\\
EB = 15 - BC
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{15 - BC}}{{15}} = \dfrac{{BC}}{{10}}\\
EB = 15 - BC
\end{array} \right.
 \to \left\{ \begin{array}{l}
BC = 6\\
EB = 9
\end{array} \right.
\end{array}\)

c. Áp dụng định lý ta-lét vào hình thang cân ABCD và ΔABD và ΔABC có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{DM}}{{AD}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}\\
\dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{DM}}{{AD}}\\
\dfrac{{CP}}{{AC}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}
\end{array} \right.
 \to \dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{CP}}{{AC}} (đpcm)
\end{array}\)

d. Do \(\dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{CP}}{{AC}}\) mà AC=BD (do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành)

⇒ DN=CP (1)

Do: \(\dfrac{{DM}}{{AD}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}\) mà AD=BC (do $ABCD$ là hình thang cân)

⇒ DM=CQ (2)

CMTT câu a ta đc AC là phân giác góc BCD

và $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

⇒ $\widehat{MDN}=\widehat{PCQ}$ (3)

Từ (1); (2) và (3)

⇒ ΔNMD=ΔPQC (c.g.c)

⇒ MN=PQ (đpcm)