a) Do $BE, CF$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\Rightarrow F, E$ cùng nhìn cạnh $BC $ dưới một góc $90^o$

nên $BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BC)$

b) Tứ giác $BFHD$ có: $\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=180^o$

mà chúng ở vị trí đối nhau nên $BFHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BH)$

Tứ giác $CEHD$ có $\widehat{CEH}+\widehat{CHD}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau nên

$CEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $(CH)$

Ta có: $\widehat{EFC}=\widehat{EBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EC của (BC))

$\widehat{EBC}=\widehat{HFD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HD của đường tròn đường kính (BH))

Từ hai điều trên $\Rightarrow\widehat{EFC}=\widehat{HFD}\Rightarrow FH$ là phân giác $\widehat{DEF}$ (1)

Chứng minh tương tự $\widehat{FEB}=\widehat{FCB}=\widehat{HED}\Rightarrow EH$ là đường phân giác của $\widehat{FED}$ của $\Delta DEF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta DEF $ có 2 đường phân giác $FH, EH$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.

c) Vẽ $Ax$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow Ax\bot OA$

$\Rightarrow\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ (do $BCEF$ nội tiếp)

Từ hai điều trên $\Rightarrow \widehat{xAB}=\widehat{AFE}$ mà chúng ở vị trí so le trong nên $Ax//EF$

$\Rightarrow EF\bot AO$

$\Rightarrow $ đường thẳng đi qua A và vuông góc với EF là bán kính OA luôn đi qua 1 điểm cố định O.