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Giải thích các bước giải:

 `1)`

`a)` `x^2 - 6x + 11`

`= x^2 - 2.x.3 + 9 + 2`

`= (x - 3)^2 + 2`

Do:

`(x - 3)^2 ≥ 0 ∀ x`

`=> (x - 3)^2 + 2 ≥ 2`

Dấu `"="` xảy ra `⇔ x = 3`

Vậy `min = 2 ⇔ x = 3`

`b)` `x^2 - 20x + 101`

`= x^2 - 2.x. 10 + 100 + 1`

`= (x - 10)^2 + 1`

Do:

`(x-  10)^2 ≥ 0∀ x`

`=> (x -10)^2 + 1 ≥ 1`

Dấu `"="` xảy ra `⇔ x = 10`

Vậy `min = 1 ⇔ x = 10`

`c)` `x^2 - 2x + y^2 - 4y + 7`

`= (x^2 - 2x+ 1) + (y^2 - 4y + 4) + 2`

`= (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 2`

Do:

`(x- 1)^2 ≥ 0 ∀ x`

`(y - 2)^2 ≥ 0 ∀y`

`=> (x - 1)^2 + (y - 2)^2 ≥ 0 ∀ x,y`

`=> (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 2 ≥ 2`

Dấu `"="` xảy ra `⇔ x = 1` và `y = 2`

Vậy `min = 2` `⇔ x = 1` và `y = 2`

`d)` `(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)`

`=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)]`

`=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)`

`=(x^2+5x)^2-36>=-36`

Dấu `"="` xảy ra khi `x^2+5x=0`

                           `<=> x = 0` hoặc `x = -5`

Vậy `min = -36`  `<=> x = 0` hoặc `x = -5`

---------------------------

`2)`

`a)` `48 - y^2 - 2y`

`= - (y^2 + 2y - 48)`

`= -(y^2 + 2y + 1 - 49)`

`= -(y + 1)^2 + 49`

Do:

`-(y + 1)^2 ≤ 0 ∀ y`

`=> -(y + 1)^2 + 49 ≤ 49`

Dấu `"="` xảy ra `⇔ y = -1`

Vậy `max = 49 ⇔ y = -1`

`b)` `4 - x^2 + 2x`

`= -(x^2 - 2x - 4)`

`= -(x^2 - 2x + 1 - 5)`

`= -(x - 1)^2 + 5`

Do:

`-(x - 1)^2 ≤ 0 ∀ x`

`=> -(x - 1)^2 + 5 ≤ 5`

Dấu `"="` xảy ra `⇔ x = 1`

Vậy `max = 5 ⇔ x = 1`

`c)` `-5x^2 - 4x + 1`

`= -5.(x^2 + 4/5x - 1/5)`

`= -5.(x^2 + 2.x.2/5 + 4/25 - 9/25)`

`= -5.(x + 2/5)^2 + 9/5`

Do:

`-5.(x + 2/5)^2 ≤ 0 ∀ x`

`=> -5.(x + 2/5)^2 + 9/5 ≤ 9/5`

Dấu `"="` xảy ra `⇔ x = -2/5`

Vậy `max = 9/5 ⇔ x = -2/5`

`d)` `4x - x^2`

`= -(x^2 - 4x)`

`= -(x^2 - 4x + 4 - 4)`

`= -(x -2)^2 + 4`

Do:

`-(x -2)^2 ≤ 0 ∀ x`

`=> -(x - 2)^2 + 4 ≤ 4`

Dấu `"="` xảy ra `⇔ x = 2`

Vậy `max = 4 ⇔ x = 2`