a/

`M , I` lần lượt là trung điểm `AB` và `BC` (gt)

$\\$

`=> MI` là đường trung bình của `\triangle ABC`

$\\$

`=> ` $AN \parallel MI $ (t/c) `\quad (1)`

Chứng minh tương tự : `NI` là đường trung bình của `\triangle ABC`

$\\$

`=>` $NI \parallel MA $ (t/c) `\quad (2)`

$\\$
Từ `(1)` và `(2) => AMIN` là hình bình hành (dhnb).

$\\$
Mà `\hat{A} =90^o => AMIN` là hình chữ nhật (dhnb).

b/

Ta có :

$\\$

$IN = ID$ và $AN = NC$ (gt)

Suy ra : `ADCI` là hình bình hành (dhnb) `\quad (3)`

Lại có : $AM \parallel NI$ (cmt) . Mà `AB \bot AC`  

`=> AC \bot ID \quad (4)`

Từ `(3)` và `(4) => ADCI` là hình thoi (dhnb).

c/

Để `ADCI` là hình vuông `=> AC = ID` .

Lại có `ID =2NI ` mà `NI = 1/2AB` ( T/c đường trung bình )

`\Rightarrow ID = 2NI = 2 . 1/2AB = AB => AC = AB`

Vậy `ABC` là `\triangle ` vuông cân `<=> ADCI` là hình vuông.

d/

Gọi `E` là giao điểm của `BN` và `AI` .

Vì `AN = NC => BN` là đường trung tuyến ứng với `AC` .

Vì `BI = IC => AI` là đường trung tuyến ứng với `BC` .

Suy ra : `E` là trọng tâm của `\triangle ABC => BE = 2/3BN`  

Do `ADCI` là hình thoi  (cmt) . Suy ra : $DC \parallel AI \Rightarrow \widehat{KDN} = \widehat{NIE}$

Xét `\triangle ENI` và `\triangle DNK` có :

`NI = ND` (gt)

`\hat{DNK} = \hat{DNK}`

$\widehat{NIE} = \widehat{KDN}$ (cmt)

$\\$

`=> \triangle ENI = KND` (g.c.g)
$\\$

`=> EN = NK` ( `2` cạnh tương ứng)

Ta có :  `BE = 2EN` ( tính chất đường trung tuyến)

Từ đó suy ra : `BN = BE +EN = 2EN + EN = 3EN = 3KN` ( đpcm).

Mik gửi bạn đáp án...^^

Chữ mik khum được đẹp :<<

#NNSHV