$\\$

`a,`

Tứ giác `AHCK` có :

$AK//CH, CK//AH$ (gt)

`<=>AHCK` là hình bình hành

Mà `hat{AHC}=90^o` (gt)

`<=>AHCK` là hình chữ nhật

`b,`

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao (gt)

`=>AH` là đường trung tuyến hay `H` là trung điểm của `BC`

`AHCK` là hình chữ nhật (cmt) và `N` là giao của `AC,HK`

`=> N` là trung điểm của `AC,HK`

`\triangle ABC` có : `M,N` là trung điểm của `AB,AC` (cmt, gt)

`=>MN` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=>` $MN//BC,MN=\dfrac{1}{2}BC$

`MN=1/2 BC, BH=1/2 BC` (cmt)

`=>MN=BH`

Tứ giác `BMNH` có :

$MN//BH, MN=BH$ (cmt)

`<=>BMNH` là hình bình hành

`c,`

`E` đối xứng `N` qua `A` (gt) tức `A` là trung điểm của `EN`

`=> AN=1/2 EN` mà `AN=1/2 AC=1/2 AB` (cmt)

`=> EN=AB` mà `AM=1/2 AB` (gt)

`=>AM=1/2 EN`

`\triangle EMN` có : `AM=1/2 EN,MA` là đường trung tuyến (gt, cmt)

`=>\triangle EMN` vuông tại `M`

`=>EM\bot MN` mà $MN//BC$ (cmt)

`=>EM\bot BC`

`d,`

`MN=BH=CH` (cmt)

`=>CH=BH=MN=5cm`

`\triangle AHB` vuông tại `H` có :

`AH^2+BH^2=AB^2` (pitago)

`=>AH^2=AB^2-BH^2=13^2-5^2=12^2`

`=>AH=12cm`

`S_{AHCK}=AH . CH = 12 . 5 = 60(cm^2)`

 

a/

Xét tứ giác `AHCK` có :

$\\$

$AK \parallel HC (H \in BC)$

$\\$

$CK \parallel AH$

$\\$
Suy ra : `AHCK` là hình bình hành (dhnb).

Lại có : `\hat{AHC} =90^o => AHCK` là hình chữ nhật (dhnb).

$\\$

b/ 

Xét `\triangle ABC` cân tại `A` có : đường cao `AH`.

Suy ra : `AH` là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC` (t/c)

Suy ra : `HB = HC <=> H` là trung điểm của `BC \quad (1)`

Xét hình bình hành `AKCH` có :

`AC ∩ HK ={N}` . 

Mà `AC` và `HK` đều là `2` đường chép của hình bình hành `AKCH`.

Suy ra : `N` là trung điểm của `AC \quad (2)` . 

Từ `(1)` và `(2) => HN` là đường trung bình ứng với cạnh `AB`

Suy ra : $HN \parallel AB$ và `HN =1/2 AB`

Suy ra : $HN \parallel MB$ và `HN = MB => BMNH` là hình bình hành (dhnb).

c/   

Ta có : `EA = AN` (gt) `=> EA =1/2AC`

Mà `AB = AC => 1/2AB = 1/2AC => AM =1/2AC `

Suy ra được : `AM = AN => 2AM = 2AN = EN => AM =1/2EN`

$\\$

`=> \triangle EMN` vuông tại `M => EM \bot MN \quad (3)`
$\\$
Lại có : $MN \parallel BC$ ( `MN` là đường trung bình ứng với `BC` ) `\quad (4)`

$\\$
Từ `(3)` và `(4) => EM \bot BC`

d/

Vì `MN` là đường trung bình ứng với `BC =>  MN =1/2BC = HC`

$\\$

`=>HC= HB = 5cm `

$\\$

Xét `\triangle AHB` có :
$\\$

`AB^2 = HB^2 + HA^2` (Py-ta-go)

$\\$

`=> 13^2= 5^2 + HA^2 => HA =12cm`

$\\$

`=> S_{AHCK} = AH . HC = 12 . 5 = 60cm^2`