Lời giải:

Kéo dài $BE$ cắt $CD$ tại $F$

Xét $\triangle ABE$ và $\triangle DFE$ có:

$\begin{cases}\widehat{BAE} = \widehat{FDE}\quad \text{(so le trong)}\\AE = ED = \dfrac12AD\\\widehat{AEB} = \widehat{DEF}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó $\triangle ABE = \triangle DFE\ (g.c.g)$

$\Rightarrow AB= DF$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow S_{ABE} = S_{DEF}$

Ta có:

$S_{BEC} = S_{ABCD} - (S_{ABE} + S_{CDE})$

$\quad = S_{ABCD} - (S_{DEF} + S_{CDE})$

$\quad = S_{ABCD} - S_{CEF}$

$\quad = \dfrac{(AB + CD).h}{2} - \dfrac{CF.h'}{2}$

$\quad = \dfrac{(AB + CD).h}{2} - \dfrac{(CD + DF).h'}{2}$

$\quad = \dfrac{(AB + CD).h}{2} - \dfrac{(CD + AB).h'}{2}$

$\quad = \dfrac{(AB + CD)}{2}\cdot (h - h')$

Với $h$ và $h'$ lần lượt là chiều cao của hình thang và chiều cao $\triangle CDF$

Theo định lí $Thales$ ta được:

$\dfrac{h'}{h} = \dfrac{BE}{AB} = \dfrac12$

$\Rightarrow h' = \dfrac12h$

$\Rightarrow h - h' = \dfrac12h$

Do đó:

$S_{BEC} = \dfrac{(AB + CD)}{2}\cdot \dfrac{h}{2}$

$\quad =\dfrac12\cdot \dfrac{(AB + CD).h}{2}$

$\quad = \dfrac12S_{ABCD}$