Giải thích các bước giải:

Câu 3:

a.Với $m=2\to y=6x+6+1=6x+7$ 

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là :
$x^2=6x+7\to (x+1)(x-7)=0\to x=-1\to y=1, x=7\to y=49$

b.Ta có :
$x^2=3mx+3m+1$

$\to x^2-3mx-(3m+1)=0$

$\to$Để $(P)\cap (d)=2$ điểm phân biệt

$\to\Delta =(3m)^2+4(3m+1)>0\to m<-\dfrac 23$ hoặc $m>-\dfrac 23$

$\to$Phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn :
$\begin{cases}x_1+x_2=3m\\ x_1x_2=-(3m+1)\end{cases}$

Để $y_1-y_2=24\to (3mx_1+3m+1)- (3mx_2+3m+1)=24$

$\to m(x_1-x_2)=8$

$\to x_1-x_2=\dfrac{8}{m}$

$\to (x_1-x_2)^2=\dfrac{64}{m^2}$

$\to (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\dfrac{64}{m^2}$

$\to 9m^2+4(3m+1)=\dfrac{64}{m^2}$

$\to m=-2,\dfrac{4}{3}$

Bài 4:

a.Ta có : $CL\perp AB , BK\perp AC\to \widehat{CLB}=\widehat{CKB}=90^o\to BLKC$ nội tiếp

b.Tương tự câu a $\to CILA$ nội tiếp

$\to \widehat{KLA}=\widehat{ACB}=\widehat{ILB}$

        $\widehat{AKL}=\widehat{CBL}\to\Delta KLA\sim\Delta BLI(g.g)$
$\to \dfrac{KL}{BL}=\dfrac{AK}{BI}\to AK.BL=KL.BI$

c.Vì M là trung điểm BC, $CL\perp BL\to \widehat{MLB}=\widehat{MBL}$

Mà $HP\perp AM\to\Delta APH\sim\Delta AIM(g.g)\to AP.AM=AH.AI$
Mà $\Delta ALH\sim\Delta AIB(g.g)\to AH.AI=AL.AB\to AP.AM=AL.AB\to\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AK}{AM}$

$\to \Delta APL\sim\Delta ABM(g.g)\to \widehat{APL}=\widehat{MBA}\to MPLB$ nội tiếp

$\to \widehat{MPB}=\widehat{MLB}=\widehat{MBL}\to \Delta MPB\sim\Delta MBA(g.g)$

$\to\dfrac{MP}{MB}=\dfrac{MB}{MA}\to MB^2=MP.MA\to MC^2=MP.MA$

$\to\dfrac{MP}{MC}=\dfrac{MC}{MA}\to \Delta MPC\sim\Delta MCA(c.g.c)$

$\to \widehat{MPC}=\widehat{ACB}=\dfrac 12\widehat{AOB}$ không đổi