Ta có M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC, do đó MN là đường trung bình tam giác ABC, vậy $MN// AB$ và $MN = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{1}{2} AC$.

Lại có N là trung điểm IM nên $MI = 2 MN = AB = AC$.

Điều kiện trên kéo theo

$MN = NI = \dfrac{1}{2} MI = \dfrac{1}{2} AC = AN = NC$

Xét tam giác AIN và CMN có

$AN = NC$

$\widehat{ANI} = \widehat{MNC}$

$NI = NM$

Vậy tam giác AIN = tam giác CMN, vậy $\widehat{IAC} = \widehat{MCA}$, mà 2 góc ở vị trí so le trong nên AI//CM.

CMTT ta cung có tam giác ANM = tam giác CNI, do đó AM // CI

Vậy tứ giác AICM là hình bình hành.

Do M là trung điểm BC và tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao tam giác ABC, do đó $\widehat{AMC} = 90^{\circ}$

Vậy tứ giác AICM là hình chữ nhật.