a) Xét $\Delta ADC$ và $\Delta ABE$ có:

$AD=AB$ (giả thiết)

$\widehat{DAC}=\widehat{BAE}$ $(=90^o+\widehat{BAC})$

$AC=AE$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta ADC=\Delta ABE$ (c.g.c)

$\Rightarrow CD=EB$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

Gọi $CD\cap BE=F$ và $CD\cap AB=G$ để chứng minh $CD\bot BE$ cần chứng minh $\widehat{F_1}=90^o$ thật vậy:

Xét $\Delta GBF$ có

$\widehat{G_1}+\widehat{B_1}+\widehat{F_1}=180^o$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

$\Rightarrow\widehat{F_1}=180^o-(\widehat{G_1}+\widehat{B_1})$

mà $\widehat{G_1}=\widehat{G_2}$ (đối đỉnh) và

$\widehat{B_1}=\widehat{ADC}$ ($ \Delta ADC=\Delta ABE$ hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\widehat{G_1}+\widehat{B_1}=\widehat{G_2}+\widehat{ADC}=180^o-\widehat{DAB}=180^o-90^o=90^o$

$\Rightarrow\widehat{F_1}=180^o-90^o=90^o$

$\Rightarrow DC\bot BE$ (đpcm)

 

b) Xét $\Delta$ vuông $ ADI$ và $\Delta$ vuông $ BAH$ có:

$AD=BA$ (giả thiết)

$\widehat{IAD}=\widehat{HBA}$ (do cùng cộng với $\widehat{BAH}$ bằng 90^o)

$\Rightarrow\Delta ADI=\Delta BAH$ (ch-gn)

$\Rightarrow ID=HA$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm) (1)

 

c) Xét $\Delta $ vuông $AHC$ và $\Delta $ vuông $EKA$ có:

$AC=EA$ (giả thiết)

$\widehat{HCA}=\widehat{KAE}$ (cùng cộng với $\widehat{HAC}$ bằng 90^o)

$\Rightarrow \Delta AHC=\Delta EKA$ (ch-gn)

$\Rightarrow AH=EK$ (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ID=EK$

và gọi $DE\cap IK=J\Rightarrow \widehat{KJE}=\widehat{IJD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta$ vuông $KJE=\Delta$ vuông $IJD$ (cgv-gn)

$\Rightarrow KJ=IJ$ và $EJ=DJ\Rightarrow J$ là trung điểm của KI và ED

$\Rightarrow DE$ và $IK$ có trung điểm J trung (đpcm)