Lời giải:

a) Ta có: $OH = HA = \dfrac12OA$

$BC\perp OA$ tại $H$

$\Rightarrow BC$ là trung trực của $OA$

$\Rightarrow OB = BA$

mà $OB = OA = R$

nên $OB = OA = BA = R = 6\ cm$

$\Rightarrow \triangle OAB$ đều

$\Rightarrow \widehat{BOA} =\widehat{BOM} = 60^\circ$

$\Rightarrow OM = \dfrac{OB}{\cos\widehat{BOM}} = \dfrac{6}{\cos60^\circ} = 12\ cm$

b) Ta có:

$OH\perp BC$

$\Rightarrow HB = HC = \dfrac12BC$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

$\Rightarrow OH$ là trung trực của $BC$

hay $OM$ là trung trực của $BC$

$\Rightarrow MB = MC$

Xét $\triangle OCM$ và $\triangle OBM$ có:

$\begin{cases}OC = OB = R\\MC = MB\quad (cmt)\\OM:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle OCM = \triangle OBM\ (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{OCM} = \widehat{OBM} = 90^\circ$

$\Rightarrow OC\perp MC$

$\Rightarrow MC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$