Ta có:
$\begin {cases} AB = BC = CD = AD(ABCD \text{là hình vuông}) \\ AE = BF = CG = HD (gt)\end{cases}$
$\Rightarrow AB - AE = BC - BF = CD - CG = AD - HD$
$\Rightarrow BE = FC = GD = AH$
Xét các tam giác vuông $\Delta AHE, \Delta BEF, \Delta CFG, \Delta DGH$, ta có:
$\begin{cases} AE = BF = CG = HD (gt) \\ BE = FC = GD = AH (cmt) \end {cases}$
$\Rightarrow \Delta AHE = \Delta BEF = \Delta CFG = \Delta DGH (c - g - c)$
$\Rightarrow HE = EF = FG = GH$(các cạnh tương ứng), $\widehat {AHE} = \widehat {BEF}$(hai góc tương ứng của $\Delta AHE$ và $\Delta BEF$)
Ta có: $HE = EF = FG = GH$(cmt)
$\Rightarrow HEFG$ là hình thoi

$\text{- Ta có:}$

    $\text{~ $ABCD$ là hình vuông.}$

    $\text{~ $AE=BF=CG=DH$}$

$\text{⇒ $AH=BE=CF=DG$}$

$\text{- Xét các tam giác $∆AEH$, $∆BFE$, $∆CGF$ và $∆DHG$:}$

    $\text{~ $AE=BF=CG=DH$}$

    $\text{~ $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o$}$

    $\text{~ $AH=BE=CF=DG$}$

$\text{⇒ $∆AEH=∆BFE=∆CGF=∆DHG$}$

$\text{⇒ $EF=FG=GH=HE$}$

$\text{⇒ $EFGH$ là hình vuông.}$