Đáp án:

$m = 5 \pm \sqrt{15}$

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\quad \dfrac{2x + 1}{x + 1} = x + m - 1$

$\Leftrightarrow 2 x + 1 = (x+1)(x + m-  1)$

$\Leftrightarrow x^2 + (m-2)x + m - 2 =0\qquad (*)$

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta_{(*)} >0$

$\Leftrightarrow (m-2)^2 - 4(m-2) >0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m>6\\m < 2\end{array}\right.$

Khi đó, áp dụng định lý Viète với hai nghiệm $x_A;\ x_B$ của phương trình hoành độ giao điểm, ta được:

$\begin{cases}x_A + x_B = 2 - m\\x_Ax_B = m - 2\end{cases}$

Ta có:

$\quad AB = 2\sqrt3$

$\Rightarrow AB^2 = 12$

$\Leftrightarrow (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 = 12$

$\Leftrightarrow (x_A - x_B)^2 + [x_A + m - 1 - (x_B + m - 1)]^2 = 12$

$\Leftrightarrow (x_A - x_B)^2 = 6$

$\Leftrightarrow (x_A + x_B)^2 - 6x_Ax_B = 6$

$\Leftrightarrow (2-m)^2 - 6(m-2) = 6$

$\Leftrightarrow m^2 - 10m + 10 =0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 5 - \sqrt{15}\\m=  5 + \sqrt{15}\end{array}\right.$ (nhận)

Vậy $m = 5 \pm \sqrt{15}$