Đáp án+Giải thích các bước giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử `1<=x<=y<=z`

Vì `x;y;z` nguyên dương nên:

`(x+y+z)/(xyz)=(xyz)/(xyz)`

`<=> x/(xyz)+y/(xyz)+z/(xyz)=1`

`<=> 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)=1`

Lại có: `x<=y<=z`

`<=> x^2<=yz;x^2<=xz;x^2<=xy`

Suy ra:

`1/x^2+1/x^2+1/x^2 >=1`

`<=> 3/x^2 >=1`

`<=> x^2<=3`

Mà `x` nguyên dương

`<=> x>=1`

`<=> x^2>=1`

Mà `x^2<=3`

`=> x^2=1`

`<=> x=1`

Thay vào phương trình `x+y+z=xyz`

`<=> 1+y+z=yz`

`<=> yz-y-z+1=1+1`

`<=> y(z-1)-(z-1)=2`

`<=> (y-1)(z-1)=2`

Mà `y;z` nguyên dương

`=> {(y>=1),(z>=1):}`

`<=> {(y-1>=0),(z-1>=0):}`

Mà `2=1.2=2.1`

Nên ta có `2` trường hợp sau:

`TH1 : {(y-1=1),(z-1=2):}`

`<=> {(y=2),(z=3):}`

`TH2 : {(y-1=2),(z-1=1):}`

`<=> {(y=3),(z=2):}`

Vậy `(x;y;z)=(1;2;3)` và các hoán vị của chúng.

$\\$

Không mất tính tổng quát giả sử `1\le x\le y\le z`

`<=>x^2 \le yz, x^2\le xz, x^2\le xy`

`<=> 1/x^2 \ge  1/(yz) , 1/x^2\ge 1/(xz), 1/x^2\ge 1/(xy)`

`<=> 1/x^2+1/x^2+1/x^2\ge 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)`

`<=>3/x^2\ge 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)`

Do `x,y,z` nguyên dương nên `xyz > 0`

Chia cả 2 vế `x+y+z=xyz` cho `xyz` ta được :

`(x+y+z)/(xyz)=1`

`<=> 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)=1`

`<=> 3/x^2\ge 1`

`<=> 3\ge x^2`

Mà `1\le x <=>1^2\le x^2`

`<=>1^2\le x^2\le 3`

`<=> 1 \le x^2 \le 3`

`<=>x^2\in {1;2;3}`

Chọn `x^2=1`

`<=>x=1`

Do đó : `y+z+1=yz` (Do `x=1`)

`<=> y+z+1-yz=0`

`<=> (y-1) + z (1-y) + 2=0`

`<=> - (1-y) +z(1-y)+2=0`

`<=> (1-y)(z-1)=-2`

`<=> (y-1)(z-1)=2=1.2=2.1`

TH1 :

`y-1=1, z-1=2`

`<=> y=2,z=3`

TH2 :

`y-1=2, z-1=1`

`<=> y=3,z=2`

Vậy cặp `(x;y)` nguyên dương thỏa mãn pt là : `(x;y;z)=(1;2;3), (1;3;2)`