Đáp án:

 Bên dưới

Giải thích các bước giải:

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ AB của (O) (giả thiết).

Suy ra cung AM = cung MB

⇒ACMˆ=BCMˆ⇒ACM^=BCM^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Mà ACMˆ=ANMˆACM^=ANM^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

⇒MNAˆ=BCMˆ⇒MNA^=BCM^ hay ⇒KNIˆ=KCIˆ⇒KNI^=KCI^ 

Xét tứ giác IKNC: KNIˆ=KCIˆKNI^=KCI^ (chứng minh trên).

Mà C và N là hai đỉnh kề nhau.

⇒⇒ IKNC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

⇒⇒ 4 điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh NB2=NK.NMNB2=NK.NM

Vì ABNC là tứ giác nội tiếp nên NBCˆ=NACˆNBC^=NAC^ 

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O) nên NACˆ=NABˆNAC^=NAB^

Vì AMBN là tứ giác nội tiếp nên NABˆ=NMBˆNAB^=NMB^

Suy ra NBCˆ=NMBˆNBC^=NMB^ hay NBKˆ=NMBˆNBK^=NMB^

Xét ΔNBKΔNBK và ΔNMBΔNMB có:

NBKˆ=NMBˆNBK^=NMB^, MNBˆMNB^ chung nên:

ΔNBKΔNBK đồng dạng ΔNMBΔNMB (góc góc)

⇒NBNM=NKNB⇒NB2=NM.NK⇒NBNM=NKNB⇒NB2=NM.NK

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Tứ giác IKNC nội tiếp suy ra IKCˆ=INCˆIKC^=INC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)

Xét (O): ABCˆ=ANCˆABC^=ANC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra ABCˆ=IKCˆABC^=IKC^ 

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra IK // HB (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

BI cắt (O) tại G.

Vì I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên G là điểm chính giữa cung AC và BI là phân giác góc ABC.

Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác AHMI nội tiếp.

Suy ra AHIˆ=AMIˆAHI^=AMI^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Xét (O): ABCˆ=AMCˆABC^=AMC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra ABCˆ=AHIˆABC^=AHI^ 

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra HI // BK (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Xét tứ giác BHIK:

IK // HB (chứng minh trên).

HI // BK (chứng minh trên).

Suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Mà BI là phân giác của góc HBK (chứng minh trên).

Suy ra tứ giác BHIK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).