Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Câu 6 :

a) 

Ta có :

A = (2+1)($2^{2}$+1).....( $2^{256}$)+1

= (2-1)(2+1)($2^{2}$+1).....( $2^{256}$)+1

= ($2^{2}$-1)($2^{2}$+1).....( $2^{256}$)+1

=.....

= ($2^{256}$ -1)($2^{256}$+1)+1  

= $2^{512}$-1+1 = $2^{512}$ 

Vậy : A = $2^{512}$ 

Câu `4:`

Ta có: `1/x+1/y+1/z=0`

`⇒{yz}/{xyz}+{xz}/{xyz}+{xy}/{xyz}=0`

`⇒{yz+xz+xy}/{xyz}=0`

`⇒yz+xz+xy=0`

`⇒` $\begin{cases}yz=-(xy+xz)=-xy-xz\\xz=-(yz+xy)=-yz-xy\\xy=-(yz+xz)=-yz-xz\end{cases}$

Ta thay vào các mẫu số của các phân số thì ta có:

$\begin{cases}x^2+2yz=x^2+yz+yz=x^2+yz-xy-xz=(x-y)(x-z)\\y^2+2xz=y^2+xz+xz=y^2+xz-yz-xy=(y-z)(y-x)\\z^2+2xy=z^2+xy+xy=z^2+xy-yz-xz=-(y-z)(z-x)=(x-z)(y-z)\end{cases}$

Thay vào `A` ta có:

`A={yz}/{x^2+2yz}+{xz}/{y^2+2xz}+{xy}/{z^2+2xy}`

`A={yz}/{(x-y)(x-z)}+{xz}/{(y-z)(y-x)}+{xy}/{(x-z)(y-z)}`

`A={yz(y-z)-xz(x-z)+xy(x-y)}/{(x-y)(y-z)(x-z)}`

`A={(x-y)(y-z)(x-z)}/{(x-y)(y-z)(x-z)}` (bạn rút gọn rồi phân tích nhân tử `yz(y-z)-xz(x-z)+xy(x-y)=(x-y)(y-z)(x-z))`

`A=1.`

Vậy `A=1.`

Câu `5:`

`a) x^6+3x^3+1=y^4`

Xét `x=-1⇒(-1)^6+3.(-1)^3+1=1-3+1=-1`, mà `y^4\ge0` `⇒` loại.

Xét `x=0⇒0^6+ 3.0^3+1=1=(±1)^4=y^4`

`⇒` ta có cặp nghiệm `(x;y)` là: `(0;1); (0;-1).`

Xét `x=1⇒1^6+3.1^3+1= 1+ 3+1=5⇒` loại.

Xét `x\ge2` ta có:

`x^6+2x^3+1<x^6+3x^3+1<x^6+4x^3+4` 

`⇔(x^3+1)^2<y^4<(x^3+2)^2`

`⇔(x^3+1)^2<(y^2)^2<(x^3+2)^2`

Ta thấy vì `x,y∈ZZ` nên `x^3+1; x^3+2` là hai số nguyên liên tiếp nên `(x^3+1)^2; (x^3+2)^2` là hai số chính phương liên tiếp. Mà giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào nên không có `(y^2)^2` thỏa mãn hay không có `x^6+3x^3+1` thỏa mãn.

`⇒` Phương trình vô nghiệm.

Xét `x\le2` ta có:

Ta đặt `z=-x^3`, điều này làm ta có phương trình: `z^2-3z^2+1` , và ta lại có:

`z^2-4z^2+4<z^2-3z^2+1<z^2-2z^2+1`

`⇔(z-2)^2<(y^2)^2<(z-1)^2`

Lập luận tương tự như trên ta sẽ có: không có số chính phương nào nên không có `(y^2)^2` thỏa mãn hay không có `x^6+3x^3+1` thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình, cặp `(x;y)` là: `(0;1),(0;-1).`

`b)3x^2+5y^2=345`

`⇒3x^2=345-5y^2`

`⇔3x^2= 5(69-y^2)`

Ta có: `3x^2\ge0⇒0\ley^2\le69`

Đến đây ta có `y^2∈{0;1;4;9;16;25;36;49;64}`

`⇒y∈{0;±1;±2;±3;±4;±5;±6;±7;±8}`

Xét `y^2=0` `⇒3x^2= 345⇒x^2=115` (loại)

Xét `y^2=1⇒3x^2=340/3` (loại)

Xét `y^2=4⇒3x^2=325/5` (loại)

Xét `y^2=9⇒3x^2=300⇒x^2=100⇒x=±10.`

Xét `y^2=16⇒3x^2=265⇒x^2=265/3` (loại)

Xét `y^2=25⇒3x^2=220⇒x^2=220/3` (loại)

Xét `y^2=36⇒3x^2=165⇒x^2=55` (loại)

Xét `y^2=49⇒3x^2=100⇒x^2=100/3` (loại)

Xét `y^2=64⇒3x^2=25⇒x^2=25/3`(loại)

Vậy ta có các cặp `(x;y)` thỏa mãn phương trình: `(10;3),(10,-3), (-10;3),(-10;-3).`

Câu `6:`

`a) A=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)...(2^{256}+1)+1`

` A=1.(2+1)(2^2+1)(2^4+1)...(2^{256}+1)+1`

`A=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)...(2^{256}+1)+1`

`A=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)...(2^{256}+1)+1`

`A=(2^4-1)(2^4+1)...(2^{256}+1)+1`

`A=(2^8-1)...(2^{256}+1)+1`

`A=...2^{512}-1+1`

`A=2^{512}.`

`b)x^2=y^2+z^2.`

`⇒z^2= x^2-y^2.`

Ta phải chứng minh: `(5x-3y+4z)(5x-3y-4z)=(3x-5y)^2`

Ta có: `(5x-3y+4z)(5x-3y-4z)=[(5x-3y)+4z][(5x-3y)-4z]=(5x-3y)^2 - 16z^2`

`=(5x-3y)^2 -  16(x^2-y^2)`

`=25x^2- 30xy+9y^2-16x^2+16y^2`

`=9x^2-30xy+25y^2`

`=(3x-5y)^2(dpcm).`

Vậy ta có `dpcm` là: `(3x-5y)^2(dpcm).`

`c)`

`1)x^2-x-6=x^2-3x+2x-6=x(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x+2).`

`2)x^3+x^2-14x+24=x^3 - 3x^2 + 2x^2 - 6x - 8x + 24=x^2(x-3)+2x(x-3)-8(x-3)=(x-3)(x^2+2x-8)`

`=(x-3)(x^2-2x+4x-8)=(x-3)[x(x-2)+4(x-2)]=(x-3)(x-2)(x+4).` (Đã sửa đề)

`3) A=x^3+8x^2+19x+12`

`=x^3+4x^2 +4x^2+16x+3x+12`

`= x^2(x+4) +4x(x+4)+3(x+4)`

`=(x+4)(x^2+4x+3)`

`=(x+4)(x^2+x+3x+3)`

`=(x+4)[x(x+1)+3(x+1)]`

`=(x+4)(x+1)(x+3).`

`4)B=x^3+6x^2+11x+6`

`=x^3+2x^2+4x^2+8x+3x+6`

`= x^2(x+2) + 4x(x+2)+3(x+2)`

`=(x+2)(x^2+4x+3)`

`=(x+2)(x^2+x+3x+3)`

`=(x+2)[(x^2+x)+(3x+3)]`

`=(x+2)[x(x+1)+3(x+1)]`

`=(x+2)(x+1)(x+3)`

`=(x+1)(x+2)(x+3).`