a, Có $I$ là trung điểm dây $MN$ của $(O)$

$⇒ OI ⊥ MN ⇒ \widehat{OIA} = 90^o$

Có $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$⇒ OB ⊥ AB, OC ⊥ AC$

$\Rightarrow  \widehat{OIA} + \widehat{OCA} = 180^o ⇒ AIOC$ là tứ giác nội tiếp

b, +) Có $OB = OC, AB = AC$

$⇒ OA$ là đường trung trực của $BC$

$⇒ OA ⊥ BC$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔOAB\bot B$ có AH.AO = AB² (1)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ANB$ có:

$\widehat {BAM}$ chung,

$\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

$\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ANB$

$\Rightarrow\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}$

$AB² = AM.AN$ (2)

Từ (1), (2) $⇒ AH.AO = AM.AN$

+) $AH.AO = AM.AN \dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AN}{AO}$

Xét $\Delta AHN$ và $\Delta AMO$ có:

$\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AN}{AO}$

$\widehat{NAH}=\widehat{OAM}$ chung

$\Rightarrow \Delta AHN\sim\Delta AMO$

$\Rightarrow \widehat{ANH}=\widehat{AOM }$ hay $\widehat{MNH}=\widehat{MOH}$ cùng nhìn cạnh MH

⇒ MNOH là tứ giác nội tiếp.