$\\$ 

`a,`

Gọi `O` là giao của `BD,AC`

`ABCD` là hình chữ nhật

`<=>O` là trung điểm của `BD,AC` và `BD=AC`

`M` đối xứng `C` qua `P` (gt) tức `P` là trung điểm của `CM`

`\triangle AMC` có :

`P,O` là trung điểm của `CM,AC` (cmt)

`=>PO` là đường trung bình

`=>` $PO//AM$ hay $AM//BD$

`b,`

Gọi `H` là giao của `AM,EF`

Khá dễ dàng chứng minh được `AFME` là hình chữ nhật

`<=>H` là trung điểm của `AM,EF` và `AM=EF`

`AH=1/2 AM, HE=1/2 EF` mà `AM=EF` (cmt)

`=>AH=HE`

`=>\triangle AHE` cân tại `H`

`=>hat{AEF}=hat{MAD}` (1)

`AO=1/2 AC, OD=1/2 BD` mà `AC=BD` (cmt)

`=>AO=DO`

`=>\triangle AOD` cân tại `O`

`=>hat{ODA}=hat{OAD}` (2)

(1)(2) `=>hat{AEF}=hat{OAD}` (Do `hat{MAD}=hat{ODA}` vì $AM//BD$)

`=>` $EF//AC$ (*)

`\triangle MAC` có : 

`H,P` là trung điểm của `AM, CM` (cmt)

`=>HP` là đường trung tuyến

`=>` $HP//AC$ (**)

(*)(**)

`=>E,F,H,P` thẳng hàng

`=>E,F,P` thẳng hàng

`c,`

`AFME` là hình chữ nhật 

`=>hat{AFM}=90^o` và $MF//AE$

`ABCD` là hình chữ nhật

`=>hat{BAD}=90^o`

`hat{AMF}=hat{MAE}` (Do $MF//AE$)

Mà `hat{MAE}=hat{BDA}` (Do $AM//BD$)

`=>hat{AMF}=hat{BDA}`

`\triangle AMF` và `\triangle BDA` có :

`hat{AFM}=hat{BAD}=90^o`

`hat{AMF}=hat{BDA}` (cmt)

`=>\triangle AMF` đồng dạng với `\triangle BDA` (g.g)

`=> (MF)/(AF)=(AD)/(AB)`

Ta thấy `(AD)/(AB)` luôn cố định hay luôn không đổi

`=>(MF)/(AF)` luôn không đổi

`=>(MF)/(AF)` không phụ thuộc vào `P`