Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Ta có: `1+1/x^2+1/((x+1)^2)`

         `=1+1/x^2+1/((x+1)^2)+2/x-2/(x+1)-2/(x(x+1))`

         `=(1+2/x+1/x^2)-[2/(x+1)+2/(x(x+1))]+1/((x+1)^2)`

         `=(1+1/x)^2-2[1/(x+1)+1/(x(x+1))]+1/((x+1)^2)`

         `=(1+1/x)^2-2.(1+1/x).1/(x+1)+1/((x+1)^2)`

         `=[(1+1/x)-1/(x+1)]^2`

         `=(1+1/x-1/(x+1))^2`

 Tương tự chứng minh được:

 `1+1/y^2+1/((y+1)^2)=(1+1/y-1/(y+1))^2`

 Khi đó: 

 `T=sqrt{(1+1/x-1/(x+1))^2}+sqrt{(1+1/y-1/(y+1))^2}+4/((x+1)(y+1))`

   `=|1+1/x-1/(x+1)|+|1+1/y-1/(y+1)|+4/((x+1)(y+1))`

 Vì `x, y>0`

`->T=1+1/x-1/(x+1)+1/y-1/(y+1)+4/((x+1)(y+1))`

      `=2+1/x+1/y-(1/(x+1)+1/(y+1))+4/((x+1)(y+1))`

      `=2+1/x+1/y-(y+1+x+1)/((x+1)(y+1))+4/((x+1)(y+1))`

      `=2+1/x+1/y-(x+y+2)/((x+1)(y+1))+4/((x+1)(y+1))`

      `=2+1/x+1/y-(2+2)/((x+1)(y+1))+4/((x+1)(y+1))`   ( vì `x+y=2`)

      `=2+1/x+1/y-[4/((x+1)(y+1))-4/((x+1)(y+1))]`

      `=2+1/x+1/y`

      `=2+(y+x)/(xy)`

      `=2+2/(xy)`   (vì `x+y=2`)

 Ta có: `(x-y)^2>=0, ∀x, y`

    `=>x^2-2xy+y^2>=0, ∀x, y`

    `=>x^2-2xy+y^2+4xy>=4xy, ∀x, y`

    `=>x^2+2xy+y^2>=4xy, ∀x, y`

    `=>((x+y)^2)/4>=xy, ∀x, y`

 Mà `x+y=2`

 `=>xy<=(2^2)/4=1, ∀x, y`

 `=>2+2/(xy)<=2+2/1=4, ∀x, y`

 hay `T<=4`

 Dấu "`=`" xảy ra khi: $\begin{cases} x+y=2\\(x-y)^2=0 \end{cases}$

                           `<=>`$\begin{cases} x+y=2\\x-y=0 \end{cases}$

                           `<=>`$\begin{cases} x=2-y\\2-y-y=0 \end{cases}$

                           `<=>`$\begin{cases} x=2-y\\-2y=-2 \end{cases}$

                           `<=>`$\begin{cases} x=2-1\\y=1 \end{cases}$

                           `<=>`$\begin{cases} x=1\\y=1 \end{cases}$

 Vậy `GTLN` của `T` là `4` khi `x=y=1`

Mình biết mỗi đến đây thôi