Ta có:

$DE = EC = \dfrac12CD$

$\Rightarrow DE = AB$

mà $DE//AB\quad (E\in CD;\ CD//AB)$

nên $ABED$ là hình bình hành

Lại có: $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ;\ AB = AD$

$\Rightarrow ABED$ là hình vuông

$\Rightarrow AB = BE = ED = AD = a$

$\Rightarrow BE = EC$

$\Rightarrow \triangle BCE$ vuông cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{EBC} = 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat{EBC} + \widehat{EBD} = 45^\circ + 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat{CBD}= 90^\circ$

$\Rightarrow \triangle BCD$ vuông tại $B$

mà $BE\perp CD;\ EC = ED = \dfrac12CD$

nên $\triangle BCD$ vuông cân tại $B$

$\Rightarrow DB = BC$

Ta có: $IB = IC =\dfrac12BC$

$\Rightarrow IB  = \dfrac12DB$

$\Rightarrow \dfrac{IB}{BD} = \dfrac12$

Bên cạnh đó:

$CD = 2AD$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{CD} = \dfrac12$

Do đó:

$\dfrac{IB}{BD} = \dfrac{AD}{CD}$

Xét $\triangle BID$ và $\triangle DAC$ có:

$\begin{cases}\widehat{IBD} = \widehat{ADC} = 90^\circ\\\dfrac{IB}{BD} = \dfrac{AD}{CD}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó $\triangle BID \backsim \triangle DAC\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{BDI} = \widehat{DCA}$ (hai góc tương ứng)

Mặt khác: $\widehat{DCA} = \widehat{HDA}$ (cùng phụ $\widehat{HDC}$)

nên $\widehat{BDI} = \widehat{HDA}$

Ta lại có: $\widehat{HDA} + \widehat{HDB} = \widehat{ADB} = 45^\circ$

nên $\widehat{BDI} + \widehat{HDB} = 45^\circ$

hay $\widehat{HDI} = 45^\circ$

 

Ta có:

∠ACH = ∠ACD (1)

- Cùng phụ với góc HDC

Xét `ΔADC` và `ΔIBD` vuộng tại `D` và `B`, có:

`(AD)/(DC)=(IB)/(BD)=1/2`, do đó `ΔADC` và `ΔIBD` đồng dạng

`⇔` ∠ACD = ∠BDI (2)

Từ (1) và (2) `⇔` ∠ADH = ∠BDI

Mà ∠ADH + ∠BDH = `45^o`

`⇒` ∠BDI + ∠BDH = `45^o` hay ∠HDI = `45^o`